Дифференциальное уравнение Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

y'+ a(x)y = b(x)y^n,\quad n \neq 0,\,1

называется уравнением Бернулли (при n=0 или n=1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При n=2 является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году. Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.[1]

Метод решения[править | править исходный текст]

Первый способ[править | править исходный текст]

Разделим все члены уравнения на

 y^n, \!

получим

\frac{dy}{dx}\! y^{-n} + a(x)y^{-n+1} = b(x).

Делая замену

z = y ^ {-n+1}\!

и дифференцируя, получаем:

\frac{dz}{dx}=(-n+1)y^{-n} \frac{dy}{dx}.

Это уравнение приводится к линейному:

\frac{dz}{dx} + (-n+1)a(x) z = (-n+1)b(x)

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ[править | править исходный текст]

Заменим

y = uv,\,

тогда:

\dot{u}v + u(\dot{v} + a(x) v) = b(x) (uv)^n.

Подберем v(x) \not\equiv 0 так, чтобы было

\dot{v} + a(x) v = 0,\!

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения u\! получаем уравнение \frac{\dot{u}}{u^n} = b(x)v^{n-1} — уравнение с разделяющимися переменными.

Пример[править | править исходный текст]

Уравнение

y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2

разделим на \,y^2, получаем:

y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2.

Замена переменных

w = \frac{1}{y}

дает:

w' = \frac{-y'}{y^2},
w' + \frac{2}{x}w = x^2.
M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2.

Умножаем на M(x),

w'x^2 + 2xw = x^4,\,
\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx
wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C
\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C.

Результат:

y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}.

Литература[править | править исходный текст]

  • А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
  • В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.