Дифференциальный бином

В математическом анализе дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется дифференциал вида

$x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,$

где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа. Представляет интерес интеграл от дифференциального бинома:

$I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx.$

Свойства

Выразимость интеграла в элементарных функциях

Линии, проходящие через точку (-1,0), которым принадлежат точки (m,n), где m,n — рациональные числа, удовлетворяющие второму условию интегрируемости дифференциального бинома

Гиперболические параболоиды, которым принадлежат точки (m,n,p), где m,n,p — рациональные числа, удовлетворяющие третьему условию интегрируемости дифференциального бинома

Интеграл от дифференциального бинома выражается в элементарных функциях только в трёх случаях:

• $p$ — целое число. Используется подстановка $x=t^{k}$, $k$ — общий знаменатель дробей $m$ и $n$;
• ${\frac {m+1}{n}}$ — целое число. Используется подстановка $a+bx^{n}=t^{s}$, $s$ — знаменатель дроби $p$.
• $p+{\frac {m+1}{n}}$ — целое число. Используется подстановка $ax^{-n}+b=t^{s}$, $s$ — знаменатель дроби $p$.

Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией

Интеграл от дифференциального бинома выражается через неполную бета-функцию:

$I={\frac {1}{n}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}\cdot B_{y}\left({\frac {m+1}{n}},p+1\right),$

где $y=-{\tfrac {b}{a}}x^{n}$, а также через гипергеометрическую функцию:

$I={\frac {1}{m+1}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}y^{(m+1)/n}\cdot {}_{2}F_{1}\left({\frac {m+1}{n}},-p;{\frac {m+1}{n}}+1;y\right).$

Примеры

Интеграл

$\int {\sqrt[{3}]{1+x^{2}}}dx$

не выражается в элементарных функциях, здесь $m=0,n=2,p={1 \over 3}$, и ни одно из трёх условий для m, n и p не выполнено.

В то же время интеграл

$\int {\sqrt {1+x^{2}}}dx={x{\sqrt {x^{2}+1}} \over 2}+{1 \over 2}\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+C$,

как видим, выражается в элементарных функциях, поскольку здесь $m=0,n=2,p={1 \over 2}$, и ${m+1 \over n}+p=1$, то есть является целым числом.

История

Интеграл от дифференциального бинома (слева вверху) на почтовой марке России 2021 года, посвящённой П. Л. Чебышеву

Случаи выразимости дифференциального бинома в элементарных функциях были известны ещё Л. Эйлеру. Однако, невыразимость дифференциального бинома в элементарных функциях во всех остальных случаях была доказана П. Л. Чебышёвым в 1853 году.

См. также

• Список интегралов элементарных функций

Ссылки

• Дифференциальный бином — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Integration Of Differential Binomial (англ.) на сайте PlanetMath.
• Tables of indefinite integrals.