Дифференциал (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Обозначения[править | править исходный текст]

Обычно дифференциал функции f обозначается df. Некоторые авторы предпочитают обозначать {\rm d}f шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке x_0 обозначается d_{x_0}f, а иногда df_{x_0} или df[x_0], а также df, если значение x_0 ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке x_0 от h может обозначаться как d_{x_0}f(h), а иногда df_{x_0}(h) или df[x_0](h), а также df(h), если значение x_0 ясно из контекста.

Использование знака дифференциала[править | править исходный текст]

  • Знак дифференциала используется в выражении для интеграла \int f(x)\, dx. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал dx вводится как часть определения интеграла.
  • Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной f'(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0). Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции f и тождественной функции x верно соотношение
    d_{x_0}f=f'(x_0){\cdot} d_{x_0}x.

Определения[править | править исходный текст]

Для функций[править | править исходный текст]

Дифференциал функции f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} в точке x_0 \in \mathbb{R} может быть определён как линейная функция

d_{x_0}f(h) = f'(x_0) h,

где f'(x_0) обозначает производную f в точке x_0.

Таким образом df есть функция двух аргументов df\colon (x_0,h)\mapsto d_{x_0}f(h).

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной, как функция d_{x_0}f(h), линейно зависящая от h, и для которой верно следующее соотношение

 d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(|h|).

Для отображений[править | править исходный текст]

Дифференциалом отображения f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m в точке x_0 \in \mathbb{R}^n называют линейный оператор d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m такой, что выполняется условие

 d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0)  + o(|h|).

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Отображение f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m называется дифференцируемым в точке x_0 \in \mathbb{R}^n если определён дифференциал d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Матрица линейного оператора d_{x_0}f равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные f.
    • Отметим, частные производные могут быть определены в точке, где дифференциал не определён.
  • Дифференциал функции f связан с её градиентом \nabla f следующим определяющим соотношением
    d_{x_0}f(h)=\langle(\nabla f)(x_0),h\rangle

История[править | править исходный текст]

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально dx применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»