Дифференциал (математика)

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Обозначения

Обычно дифференциал функции $f$ обозначается $df$. Некоторые авторы предпочитают обозначать ${\rm d}f$ шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке $x_0$ обозначается $d_{x_0}f$, а иногда $df_{x_0}$ или $df[x_0]$, а также $df$, если значение $x_0$ ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке $x_0$ от $f(x)$ может обозначаться как $d_{x_0}f(x)$, $d f(x_0)$, а иногда $df_{x_0}(x)$ или $df[x_0](x)$, а также $df(x)$, если значение $x_0$ ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

• Знак дифференциала используется в выражении для интеграла $\int f(x)\, dx$. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал $dx$ вводится как часть определения интеграла.
• Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной $f'(x_0)=\frac{d_{x_0}}{dx}(f(x))$. Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции $f$ и тождественной функции $x$ верно соотношение

  $d_{x_0}f(x)=f'(x_0) dx.$

Определения

Для функций

Дифференциал функции $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ в точке $x_0 \in \mathbb{R}$ может быть определён как линейная функция

$d_{x_0}f(x) = f'(x_0) \Delta x,$

где $f'(x_0)$ обозначает производную $f$ в точке $x_0$.

Таким образом $df$ есть функция двух аргументов $df\colon (x_0,\Delta x)\mapsto d_{x_0}f(x)$.

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функции $d_{x_0}f(x)$ линейно зависящей от $\Delta x$ и для которой верно следующее соотношение

$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = d_{x_0}f(x) + o(| \Delta x |).$

Для отображений

Дифференциалом отображения $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ в точке $x_0 \in \mathbb{R}^n$ называют линейный оператор $d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ такой, что выполняется условие

$d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(|h|).$

Связанные определения

• Отображение $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ называется дифференцируемым в точке $x_0 \in \mathbb{R}^n$ если определён дифференциал $d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$.

Свойства

• Матрица линейного оператора $d_{x_0}f$ равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные $f$.
  • Отметим, частные производные могут быть определены в точке, где дифференциал не определён.

• Дифференциал функции $f$ связан с её градиентом $\nabla f$ следующим определяющим соотношением

  $d_{x_0}f(h)=\langle\nabla f(x_0),h\rangle$

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально $dx$ применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения

• Дифференциалы высших порядков
• Внешний дифференциал
• Дифференциал (дифференциальная геометрия)
• Производная Пеано
• Производная Фреше

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»