Дифференцирование сложной функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x_0, а функция g имеет производную в точке y_0 = f(x_0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x_0.

Одномерный случай[править | править исходный текст]

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, f:U(x_0) \to V(y_0), где y_0 = f(x_0), и g:V(y_0) \to \R Пусть также эти функции дифференцируемы: f\in \mathcal{D}(x_0),\; g \in \mathcal{D}(y_0). Тогда их композиция также дифференцируема: h = g \circ f \in \mathcal{D}(x_0), и её производная имеет вид:

 h'(x_0) = g'\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0).

Замечание[править | править исходный текст]

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции y = y(x), где x = x(t), принимает следующий вид:

\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}.

Инвариантность формы первого дифференциала[править | править исходный текст]

Дифференциал функции z = g(y) в точке y_0 имеет вид:

dz = g'(y_0) \, dy,

где dy — дифференциал тождественного отображения y \to y_0:

dy(h) = h,\quad h \in \R.

Пусть теперь y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0). Тогда dy = f'(x_0)\, dx, и согласно цепному правилу:

dz = g'\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy.

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример[править | править исходный текст]

Пусть h(x) = (3x^2 - 5x)^7.\; Тогда функция h\; может быть записана в виде композиции h = g \circ f , где

f(x) = 3x^2-5x,\;
g(y) = y^7.\;

Дифференцируя эти функции отдельно:

f'(x) = 6x - 5,\;
g'(y) = 7y^6,\;

получаем

h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5).

Многомерный случай[править | править исходный текст]

Пусть даны функции f:U(x_0) \subset \R^m \to V(y_0) \subset \R^n, где y_0 = f(x_0), и g:V(y_0) \subset \R^n \to \R^p. Пусть также эти функции дифференцируемы: f\in \mathcal{D}(x_0) и g \in \mathcal{D}(y_0). Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

dh(x_0) = dg(y_0) * df(x_0).

В частности, матрица Якоби функции h является произведением матриц Якоби функций g и f:

\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)} = \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \cdot \frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}.

Следствия[править | править исходный текст]

  • Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
    \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert = \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)}\right\vert \cdot \left\vert\frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert.

Для частных производных сложной функции справедливо

  • \frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial h(y_0)}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots m.

Пример[править | править исходный текст]

Пусть дана функция трёх переменных h(x,y,z) = \sin x + \cos^2 (x+y+z) - \sqrt{2x^2 + 5y^3}\; и требуется найти её частную производную по переменной x. Функция h\; может быть записана как h(x,y,z) = f(u,v,w) , где

f(u,v,w) = u + v^2 + w,\;
u(x,y,z) = \sin x,\;
v(x,y,z) = \cos (x+y+z),\;
w(x,y,z) = - \sqrt{2x^2 + 5y^3}.\;

Тогда частная производная функции h по переменной x будет иметь следующий вид:


\frac{\partial h}{\partial x} =
  \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} +
  \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} +
  \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial x}

Вычисляем производные:


  \frac{\partial f}{\partial u} = 1,\;
  \frac{\partial f}{\partial v} = 2v,\;
  \frac{\partial f}{\partial w} = 1,\;
  \frac{\partial u}{\partial x} = \cos x,\;
  \frac{\partial v}{\partial x} = -\sin (x+y+z),\;
  \frac{\partial w}{\partial x} = - \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}}.\;

Подставляем найденные производные:


\frac{\partial h}{\partial x} =
  1 \cdot \cos x
    \quad + \quad
  2 \cdot \Bigl( \cos (x+y+z) \Bigl) \cdot \Bigl( -\sin(x+y+z) \Bigl)
    \quad + \quad
  1 \cdot \left( - \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}} \right)

В итоге


\frac{\partial h}{\partial x} =
  \cos x
    - 
  \sin(2x+2y+2z)
    -
  \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}}.

См. также[править | править исходный текст]