Дифференцирование (алгебра)

В алгебре дифференцирование — это операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.

Определение

Пусть $A$ — алгебра над кольцом $R$. Дифференцирование алгебры $A$ — это $R$-линейное отображение $\partial: A\to A$, удовлетворяющее тождеству Лейбница:

$\partial (ab) = (\partial a) b + a (\partial b)$

В более общем случае дифференцирование коммутативной $A$ со значениями в $A$-модуле $M$ — это $R$-линейное отображение $\partial: A \to M$, удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае $M$ называют дифференциальным модулем над $A$ Множество всех дифференцирований со значениями в $M$ обозначается $\mathrm{D}(M)$ ($\mathrm{Der}(M)$, $\mathrm{Der}_R(A,M)$) и является $A$-модулем. Функтор $\mathrm{D}$ является представимым, его представляющий объект обозначается $\Lambda^1(A)$ или $\Omega^1_{A/R}$ и называется модулем кэлеровых дифференциалов. $\Lambda^1(A)$ является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над $A$, то есть существует такое дифференцирование $d:A \to \Lambda^1(A)$, что любое дифференцирование $\delta \in \mathrm{D}(M)$ пропускается через $d$:

$\exists! f: \Lambda^1(A) \to M:~ \delta = f\circ d$

Свойства

• $\mathrm{D}(A)$ имеет естественную структуру алгебры Ли: $\mathrm{D}_1, \mathrm{D}_2 \in\mathrm{D}(A) \implies [\mathrm{D}_1, \mathrm{D}_2 ] = \mathrm{D}_1 \circ \mathrm{D}_2 -\mathrm{D}_2 \circ \mathrm{D}_1 \in \mathrm{D}(A)$
• Любое дифференцирование является дифференциальным оператором (в смысле коммутативной алгебры) первого порядка. Более того, если $A$ — алгебра с единицей, то для любого $A$-модуля $M$

$\mathrm{Diff}_1(M) = \mathrm{D}(M) \oplus M$

Здесь $\mathrm{Diff}_1(M)$ — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из $A$ в $M$.

• $\mathrm{Der}_R(A,M)$ является функтором из $(\mathcal{R}ing^{op}) \times (R-\mathcal{A}lg^{op}) \times (A-\mathcal{M}od)$ в $A-\mathcal{M}od$.

Градуированное дифференцирование

Пусть $A$ — $\Z$-градуированная алгебра, градуировку элемента $a\in A$ обозначим $|a|$. Правильным аналогом дифференцирований в этом случае являются градуированные дифференцирования, порождённые однородными отображениями $\mathrm{D}:A \to A$ степени $|\mathrm{D}|$, удовлетворяющими следующему градуированному тождеству Якоби ($\varepsilon = \pm$):

$\mathrm{D}(ab)=(\mathrm{D}a)b + \varepsilon^{|a||\mathrm{D}|}a(\mathrm{D}b)$

Если $\varepsilon=1$, то градуированные дифференцирования совпадают с обычными. Если $\varepsilon=-1$, то их обычно называют супердифференцированиями. Супердифференцирования образуют супералгебру Ли относительно суперкоммутатора

$[\mathrm{D}_1, \mathrm{D}_2] = \mathrm{D}_1 \circ \mathrm{D}_2 - (-1)^{|\mathrm{D}_1||\mathrm{D}_2|} \mathrm{D}_2 \circ \mathrm{D}_1$

Примерами супердифференцирований являются внешнее и внутреннее дифференцирование на кольце дифференциальных форм.

Литература

• Bourbaki, Nicolas (1989), «Algebra I», Elements of mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 .
• Kolař, Ivan; Slovák, Jan & Michor, Peter W. (1993), «Natural operations in differential geometry», Springer-Verlag, <http://www.emis.de/monographs/KSM/index.html> .

См. также

• Дифференциальная алгебра