Дифференцирование (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В алгебре дифференцирование — это операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть A — алгебра над кольцом R. Дифференцирование алгебры A — это R-линейное отображение \partial: A\to A, удовлетворяющее тождеству Лейбница:

\partial (ab) = (\partial a) b + a (\partial b)

В более общем случае дифференцирование коммутативной A со значениями в A-модуле M — это R-линейное отображение \partial: A \to M, удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае M называют дифференциальным модулем над A Множество всех дифференцирований со значениями в M обозначается \mathrm{D}(M) (\mathrm{Der}(M), \mathrm{Der}_R(A,M)) и является A-модулем. Функтор \mathrm{D} является представимым, его представляющий объект обозначается \Lambda^1(A) или \Omega^1_{A/R} и называется модулем кэлеровых дифференциалов. \Lambda^1(A) является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над A, то есть существует такое дифференцирование d:A \to \Lambda^1(A), что любое дифференцирование \delta \in \mathrm{D}(M) пропускается через d:

\exists! f: \Lambda^1(A) \to M:~ \delta = f\circ d

Свойства[править | править вики-текст]

  • \mathrm{D}(A) имеет естественную структуру алгебры Ли: \mathrm{D}_1, \mathrm{D}_2 \in\mathrm{D}(A) \implies [\mathrm{D}_1, \mathrm{D}_2 ] = \mathrm{D}_1 \circ \mathrm{D}_2 -\mathrm{D}_2 \circ \mathrm{D}_1 \in \mathrm{D}(A)
  • Любое дифференцирование является дифференциальным оператором (в смысле коммутативной алгебры) первого порядка. Более того, если A — алгебра с единицей, то для любого A-модуля M
\mathrm{Diff}_1(M) = \mathrm{D}(M) \oplus M
Здесь \mathrm{Diff}_1(M) — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из A в M.
  • \mathrm{Der}_R(A,M) является функтором из (\mathcal{R}ing^{op}) \times (R-\mathcal{A}lg^{op}) \times (A-\mathcal{M}od) в A-\mathcal{M}od.

Градуированное дифференцирование[править | править вики-текст]

Пусть A — \Z-градуированная алгебра, градуировку элемента a\in A обозначим |a|. Правильным аналогом дифференцирований в этом случае являются градуированные дифференцирования, порождённые однородными отображениями \mathrm{D}:A \to A степени |\mathrm{D}|, удовлетворяющими следующему градуированному тождеству Якоби (\varepsilon = \pm):

\mathrm{D}(ab)=(\mathrm{D}a)b + \varepsilon^{|a||\mathrm{D}|}a(\mathrm{D}b)

Если \varepsilon=1, то градуированные дифференцирования совпадают с обычными. Если \varepsilon=-1, то их обычно называют супердифференцированиями. Супердифференцирования образуют супералгебру Ли относительно суперкоммутатора

[\mathrm{D}_1, \mathrm{D}_2] = \mathrm{D}_1 \circ \mathrm{D}_2 - (-1)^{|\mathrm{D}_1||\mathrm{D}_2|} \mathrm{D}_2 \circ \mathrm{D}_1

Примерами супердифференцирований являются внешнее и внутреннее дифференцирование на кольце дифференциальных форм.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]