Дифференцируемая функция

Дифференци́руемая фу́нкция — это функция, имеющая дифференциал. Дифференцируемая функция может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат (на данном отрезке).

Вещественный анализ

Функция

$f\colon M\subset \R^n \mapsto \R$

называется дифференцируемой в точке $x_0$ своей области определения $M$, если существует такая линейная функция

$l\colon \R^n \mapsto \R$,

что для любой точки $x$ области $M$ верно

$f(x)-f(x_0)=l(x)+o(\|x-x_0\|)$,

то есть, раскрывая символ «o» малое, если

$\lim \limits_{x\to x_0} \frac{|f(x)-f(x_0)-l(x)|}{\|x-x_0\|} =0$.

Множество всех функций, определённых и дифференцируемых во всех точках области $M$ является кольцом.

Случай функции одной переменной

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Функция $f(x) = |x|$ и её производная.

График функции Вейерштрасса на интервале [−2, 2]. Этот график имеет фрактальный характер: зум (в красном круге) подобен всему графику.

Согласно общему определению функция

$f\colon M\subset \R \mapsto \R$

одной переменной является дифференцируемой в точке $x_0$ своей области определения $M$, если существуют такие константы $a$ и $b$, что для любой точки $x$ области $M$ верно

$f(x)=a + b(x-x_0)+o(x-x_0)$;

при этом число $a$ неизбежно равно значению функции в точке $x_0$, а число $b$ -- пределу

$\lim \limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$,

который, следовательно, существует и его, как известно, называют производной функции в точке $x_0$, то есть

$f(x)=f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0)$.

Более того, функция одной переменной является дифференцируемой в точке $x_0$ тогда и только тогда, она имеет производную в этой точке.

График функции $y=f(x)$ представляет собой кривую на плоскости $Oxy$, а график линейной функции

$y=f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$

доставляет касательную прямую к этой кривой, проведённую в точке $x_0$.

Напр., функция $f(x) = x^2$ определена и дифференцируема в любой вещественной точке, поскольку её можно представить в виде

$f(x) = f(x_0) + 2x_0(x-x_0) + (x-x_0)^2$.

При этом её производная есть $f'(x_0) = 2x_0$, а уравнение касательной прямой, проведённой в точке $x_0$, имеет вид: $y = x_0^2 + 2x_0(x-x_0)$.

Элементарные функции могут быть непрерывны в некоторой точке, но не быть в ней дифференцируемы. Напр., функция $f(x) = |x|$ является непрерывной на всей вещественной оси, но её производная испытывает скачок при переходе через точку $x=0$, в котором эта функция не является дифференцируемой. В этой точке нельзя провести и касательную к графику функции. Функция $y=\sqrt[3]{x}$ тоже непрерывна на всей вещественной оси и её график имеет касательные во всех точках, однако касательная, проведённая в точке $x=0$, является вертикальной прямой и поэтому производная функции $y=\sqrt[3]{x}$ бесконечно велика в точке $x=0$, а сама функция не дифференцируема в этой точке.

Графики элементарных функций учат, что произвольная функция дифференцируема всюду, за исключением исключительных и изолированных значений аргумента. Первая попытка аналитического доказательства этого утверждения принадлежит Амперу, и поэтому оно носит название гипотезы Ампера. Это утверждение, однако, не верно в классе аналитически представимых функций, напр., функция Дирихле не является даже непрерывной ни в одной точке. Нельзя также считать и произвольную непрерывную функцию дифференцируемой, напр., функция Вейерштрасса определена и непрерывная на всей вещественной оси, но не является дифференцируемой ни в одной её точке. Это в частности означает, что к её графику ни в одной точке нельзя провести касательную прямую. Тем не менее, гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку следующей теоремы Лебега: любая монотонная функция $f(x)$ имеет определённую конечную производную всюду, кроме, быть может, некоторого множества значений $x$ меры нуль.

Случай функции двух переменных

Согласно общему определению функция

$f\colon M\subset \R^2 \mapsto \R$

двух переменных $x, y$ является дифференцируемой в точке $(x_0,y_0)$ своей области определения $M$, если существуют такие константы $a, b$ и $c$, что для любой точки $(x,y)$ области $M$ верно

$f(x,y)=a + b(x-x_0) + c(y-y_0)+o(\sqrt{(x-x_0)^2+ (y-y_0)^2})$;

при этом число $a$ неизбежно равно значению функции в точке $(x_0,y_0)$, а числа $b$ и $c$ являются частными производными функции в той же точке, то есть

$f(x,y)=f(x_0,y_0) + \left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}(x-x_0) + \left. \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}(y-y_0)+ o(\sqrt{(x-x_0)^2+ (y-y_0)^2})$.

При этом всякая дифференцируемая в точке $(x_0,y_0)$ функция имеет в этой точке обе частные производные, но не всякая функция, имеющая обе частные производные является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. Напр., функция

$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{2xy}{x^2+y^2} & (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

которая имеет в точке $O=(0,0)$ обе частные производные, но не является в этой точке непрерывной. В самом деле,

$\frac {\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim \limits_{x\to 0} \frac{f(x,0)-0}{x}=0$, $\frac {\partial f}{\partial y}(0,0)= 0$;

и если $\{ a_n\}$ — бесконечно малая последовательность, то

$f(a_n,0)=0 \to 0$ и $f(a_n,a_n)=\frac{2a_n^2}{a_n^2+a_n^2}=1\to 1$,

поэтому предел

$\lim\limits_{(x,y)\to O}f(x,y)$

не существует.

График функции $y=f(x,y)$ представляет собой поверхность в пространстве $Oxyz$, а график линейной функции

$y=f(x_0,y_0) + \left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}(x-x_0) + \left. \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}(y-y_0)$

доставляет касательную плоскость к этой поверхности, проведённую в точке $(x_0,y_0)$.

Комплексный анализ

Данное выше определение дифференцируемости в точке может быть перенесено без изменений на случай функций комплексного переменного: функция

$f\colon M\subset \C^n \mapsto \C$

называется дифференцируемой в точке $z_0$ своей области определения $M$, если существует такая линейная функция

$l\colon \C^n \mapsto \C$,

что для любой точки $z$ области $M$ верно

$f(z)-f(z_0)=l(z)+o(\|z-z_0\|)$.

В случае функции $f$ одной переменной $z$ оно эквивалентно требованию существования производной $f'(z_0)$. Это требование часто записывают в виде условий Коши — Римана, накладываемых на вещественную и мнимую часть функции $f$.

В отличие от вещественного анализа, при построении анализа для функций нескольких комплексных переменных большее значение имеет понятие голоморфности. Функция $f(z_1, \dots z_n)$, заданная в области $M$, голоморфна в этой области, если во всех точках этой области она обладает всеми частными производными по $z_1, \dots, z_n$. Этого оказывается достаточным для установления ряда нетривиальных свойств. В частности удается доказать фундаментальную теорему Гартогса, согласно которой функция, голморфная в полицилиндре

$|z-z_1^0|\leq R_1, \dots |z-z_n^0|\leq R_n$,

является непрерывной в этом цилиндре.

Литература

• Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — С. 13-16.
• Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.-Л.: ГНТИ, 1931. — Т. 2. — С. 60-69.

Ссылки

• http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Ma/02/02/t.htm
• http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme10/theory.asp