Дифферинтеграл Римана — Лиувилля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, дифферинтеграл Римана — Лиувилля отображает вещественную функцию f\colon\R\to\R в другую функцию I^\alpha f того же типа для каждого значения параметра \alpha>0. Данный дифферинтеграл является обобщением повторной первообразной от f в том смысле, что для целых положительных значений \alpha, I^\alpha f представляет собой повторную производную функции f порядка \alpha. Дифферинтеграл Римана — Лиувилля назван в честь Бернхарда Римана и Жозефа Лиувилля, последний из которых был первым, кто рассмотрел возможность дробного исчисления в 1832 году.[1] Данный оператор согласуется с преобразованием Эйлера при действии на аналитические функции.[2] Он был обобщён на произвольные размерности Марселем Рисом, который ввёл потенциал Риса.

Интеграл Римана — Лиувилля определяется как:

I^\alpha f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int\limits_a^xf(t)(x-t)^{\alpha-1}\,dt,

где \Gamma — гамма-функция, а a — произвольная, но фиксированная точка отсчёта. То что данный интеграл хорошо определён обеспечивается локальной интегрируемостью функции f, \alpha — комплексное число в полуплоскости \mathrm{Re}\,\alpha>0. Зависимость от точки отсчёта a часто не существенна и представляет собой свободу в выборе константы интегрирования. I^1 f конечно же является первообразной (первого порядка) функции f, для целых положительных значений \alpha I^\alpha f представляет собой первообразную порядка \alpha в соответствии с формулой повторного интегрирования Коши. В других обозначениях, подчёркивающих зависимость от точки отсчёта имеет вид[3]:

{}_a\mathbb{D}_x^{-\alpha}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int\limits_a^x f(t)(x-t)^{\alpha-1}\,dt.

Данное выражение имеет смысл и при a=-\infty, с соответствующими ограничениями на f.

Фундаментальными соотношениями остаются:

\frac{d}{dx}I^{\alpha+1}f(x)=I^\alpha f(x),\quad I^\alpha(I^\beta f)=I^{\alpha+\beta}f,

последние из которых представляет собой полугрупповое свойство.[1] Эти свойства позволяют не только определить дробное интегрирование, но и дробное дифференцирование посредством взятия достаточного числа производных функции I^\alpha f.

Свойства[править | править вики-текст]

Пусть (a,\;b) — фиксированный ограниченный интервал. Оператор I^\alpha отображает любую интегрируемую функцию f на (a,\;b) в функцию I^\alpha f на (a,\;b), которая также интегрируем по теореме Фубини. Таким образом, I^\alpha определяет линейный оператор на пространстве L^1(a,\;b):

I^\alpha\colon L^1(a,\;b)\to L^1(a,\;b).

Из теоремы Фубини также следует, что этот оператор непрерывен относительно структуры банахова пространства на L^1. Таким образом, верно следующее неравенство:

\|I^\alpha f\|_1\leqslant\frac{|b-a|^{\mathrm{Re}\,\alpha}}{\mathrm{Re}\,\alpha\,|\Gamma(\alpha)|}\|f\|_1.

Здесь \|\cdot\|_1 обозначает норму в L^1(a,\;b).

В более общем случае, из неравенства Гёльдера следует, что если f принадлежит L^p(a,\;b), то и I^\alpha f также принадлежит L^p(a,\;b) и выполняется аналогичное неравенство:

\|I^\alpha f\|_p\leqslant\frac{|b-a|^{\mathrm{Re}\,\alpha\,/\,p}}{\mathrm{Re}\,\alpha\,|\Gamma(\alpha)|}\|f\|_p,

где \|\cdot\|_p — норма в пространстве L^p на интервале (a,\;b). Таким образом, I^\alpha определяет ограниченный линейный оператор из L^p(a,\;b) в себя. Более того, I^\alpha f стремится к f в L^p-смысле при \alpha\to0 вдоль вещественной оси. То есть:

\lim_{\alpha\to 0+}\|I^\alpha f-f\|_p=0

для всех p\leqslant 1. Кроме того, оценивая максимальную функцию оператора I можно доказать поточечную сходимость I^\alpha f\to f почти всюду.

Оператор I^\alpha хорошо определён на множестве локально-интегрируемых функций на всей действительной прямой \R. Он определяет ограниченное отображение на любом банаховом пространстве функций экспоненциального типа X_\sigma=L^1(e^{-\sigma|t|}\,dt), состоящего из локально-интегрируемых функций для которых норма

\|f\|=\int\limits_{-\infty}^\infty|f(t)|e^{-\sigma|t|}\,dt

конечна. Для f из X_\sigma преобразование Лапласа функции I^\alpha f принимает особенно простую форму:

(\mathcal{L}I^\alpha f)(s)=s^{-\alpha}F(s),

где \mathrm{Re}\,s>\sigma. Здесь через F(s) обозначено преобразование Лапласа функции f и это свойство выражает тот факт, что I^\alpha представляет собой Фурье-мультипликатор.

Дробные производные[править | править вики-текст]

Можно также определить производные дробного порядка от функции f:

\frac{d^\alpha}{dx^\alpha}f\overset\mathrm{def}{=}\frac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{dx^{\lceil\alpha\rceil}}I^{\lceil\alpha\rceil-\alpha}f,

где через \lceil\cdot\rceil обозначена операция взятия целой части. Можно также получить дифферинтегральную интерполяцию между дифференцированием и интегрированием определяя:

\mathbb{D}^\alpha_x f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{dx^{\lceil\alpha\rceil}}I^{\lceil\alpha\rceil-\alpha}f(x), & \alpha>0; \\
f(x), & \alpha=0; \\
I^{-\alpha}f(x), & \alpha<0.
\end{cases}

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]