Дополнение (теория множеств)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дополне́ние в теории множеств — это семейство элементов, не принадлежащих данному множеству.

Содержание 1 Разность множеств 1.1 Определение 1.2 Примеры 1.3 Свойства 1.4 Компьютерные реализации 2 Дополнение множества 2.1 Определение 2.2 Свойства 3 См. также

[править] Разность множеств

[править] Определение

Пусть даны два множества A и B. Тогда их (теоретико-множественная) разность определяется следующим образом:

[править] Примеры

• Пусть . Тогда
• Пусть  — множество всех вещественных чисел,  — множество рациональных чисел, а  — множество целых чисел. Тогда  — множество всех иррациональных чисел, а  — дробных.

[править] Свойства

Пусть A,B,C — произвольные множества. Тогда

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

[править] Компьютерные реализации

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

[править] Дополнение множества

[править] Определение

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсального множества X, то определяется операция дополнения:

[править] Свойства

• Операция дополнения является унарной операцией на булеане 2^X.
• Законы дополнения:

• 
• 

В частности, если оба A и непусты, то является разбиением X.

• 
• 
• 

• Операция дополнения является инволюцией:

• Законы де Моргана:

• 
• 

• Законы разности множеств:

• 
• 

[править] См. также

• Операции над множествами