Дробная производная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дробная производная (или производная дробного порядка) является обобщением математического понятия производной. Существует несколько разных способов обобщить это понятие, но все они совпадают с понятием обычной производной в случае натурального порядка. Когда рассматриваются не только дробные, но и отрицательные порядки производной, к такой производной обычно применяется термин дифферинтеграл.

Дробные производные на отрезке вещественной оси[править | править вики-текст]

Для функции  \,f(x), заданной на отрезке [a,\, b], каждое из выражений

\,D^\alpha_{a+} \, f(x)= \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac {d}{dx} \int \limits_a^x \frac{f(t)\, dt}{(x-t)^\alpha}, \quad
\,D^\alpha_{b-} \, f(x)= - \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac {d}{dx} \int \limits_x^b \frac{f(t)\, dt}{(t-x)^\alpha},

называется дробной производной порядка \, \alpha, \, 0 < \alpha < 1, соответственно левосторонней и правосторонней. Дробные производные в приведенном виде называют обычно производными Римана — Лиувилля.

Определение через интеграл Коши[править | править вики-текст]

Дробная производная порядка p (p — действительное положительное число) определяется через интеграл Коши: D_C^pf(t)=\frac1{\Gamma(p)}\!\int\limits_C\frac{f(u)}{(t-u)^{p+1}}\,du, где интегрирование ведется по выбранному заранее контуру C на комплексной плоскости. Непосредственное применение этой формулы затруднено из-за ветвления функции при дробном показателе степени в знаменателе.

Определение через преобразование Фурье[править | править вики-текст]

Основано на следующем свойстве интегрального преобразования Фурье

F(f') = i\omega F(f).\

Определение через общую формулу n-й производной[править | править вики-текст]

В случае, если есть общее аналитическое выражение для производной n-го порядка, понятие дробной производной может быть введено естественным образом путём обобщения данного выражения (когда это возможно) на случай произвольного числа n.

Пример 1: дифференцирование многочленов[править | править вики-текст]

Пусть f(x) есть моном вида

 f(x) = x^k\,.

Первая производная, как и обычно

 f'(x) = {d \over dx } f(x) = k x^{k-1}\,.

Повторение данной процедуры даёт более общий результат

 {d^n \over dx^n } x^k = { k! \over (k - n) ! } x^{k-n}\,,

который после замены факториалов гамма-функциями приводит к

 {d^n \over dx^n } x^k = { \Gamma(k+1) \over \Gamma(k - n + 1) } x^{k-n}\,.

Поэтому, например, половинная производная функции x есть

 { d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } x = { \Gamma(1 + 1) \over \Gamma ( 1 - {1 \over 2} + 1 ) } x^{1-{1 \over 2}} = { \Gamma( 2 ) \over \Gamma ( { 3 \over 2 } ) } x^{1 \over 2} = {2  \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2}\; = \frac{2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt{\pi}}\,.

Повторяя процедуру, будем иметь

 { d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } {2  \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2} = {2  \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma ( 1 + {1 \over 2} ) \over \Gamma ( {1 \over 2} - { 1 \over 2 } + 1  ) } x^{{1 \over 2} - {1 \over 2}}  = {2  \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma( { 3 \over 2 } ) \over \Gamma ( 1 ) } x^0 = { 1 \over \Gamma (1) } = 1\,,

что представляет собой ожидаемый результат

 \left( \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \right) x = { d \over dx } x = 1 \,.

Таким образом можно ввести дробные производные произвольного положительного порядка от многочлена. Определение также естественно обобщается на аналитические функции. Рассматривая \Gamma как мероморфную функцию комплексного переменного, можно обобщить определение на случай произвольного порядка дифференцирования. При этом

{\left( {d\over dx} \right)}^a {\left( {d\over dx} \right)}^b = {\left( {d\over dx} \right)}^{a+b}

на всех x^k, таких что k-a, k-b и k-a-b не являются целыми отрицательными числами.

Следует заметить, что производная в рассмотренном смысле имеет место при целых отрицательных n, однако такая производная отличается от понятия первообразной n-го порядка, поскольку первообразная определена неоднозначно, в то время как производная совпадает лишь с одной из первообразных. В этом случае можно говорить о главном значении первообразной.

Пример 2: дифференцирование тригонометрических функций[править | править вики-текст]

Пусть

 f(x) = \sin (ax+b)\,.

Поскольку для любых a и b

 {d^n \over dx^n } \sin (ax+b) = a^n \sin \left(ax+b+{\pi n \over 2} \right)\,,

то, полагая  n=1/2 ,

 {{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \sin (ax+b) = \sqrt{a} \, \sin \left(ax+b+{\pi \over 4} \right)\,.

Действительно,

 {{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \left( {{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \sin (ax+b) \right) = \sqrt{a} \; \sqrt{a} \, \sin \left(ax+b+{\pi \over 4}+{\pi \over 4} \right) = a \, \cos (ax+b) = f'(x)\,.

В рассмотренном примере понятие производной обобщается на случай любого действительного и даже комплексного порядка. Так, при n=-1 формула n-й производной даёт одну из первообразных функции f(x).

Свойства[править | править вики-текст]

Основные свойства производной нецелого порядка:

  • Линейность
 D^{q}_t(f(t)+g(t))= D^{q}_t(f(t))+ D^{q}_t(g(t))
 D^{q}(ax)=a D^{q}(x)
  • Правило нуля
 D^{0}x=x
  • Дробная производная произведения
D^q_t(f(t)g(t))=\sum_{j=0}^{\infty} {q \choose j} D^j_t(f(t)) D^{q-j}_t(g(t))
  • Полугрупповое свойство
 D^a D^{b} f(t) = D^{a+b} f(t)

в общем случае не выполняется [1].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. см. Свойство 2.4 (стр. 75) в книге A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. (Elsevier, 2006)

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]