Дробное интегро-дифференцирование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дробное интегро-дифференцирование в математическом анализе — объединённый оператор дифференцирования/интегрирования, порядок которого может быть произвольным вещественным или комплексным числом. Используется в дробном математическом анализе. Сам по себе оператор служит для обозначения операции взятия производной/интеграла дробного порядка.

Обычно оператор обозначается следующим образом: \mathbb{D}^q_t.

Определения[править | править вики-текст]

Три наиболее употребительных формулы:

Самая простая и часто употребляемая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.
{}_a\mathbb{D}^q_t\,f(t)  =\frac{d^q\,f(t)}{d(t-a)^q}=
=\frac{1}{\Gamma(n-q)}\frac{d^n}{dt^n}\int\limits_a^t (t-\tau)^{n-q-1}f(\tau)\,d\tau.
{}_a\mathbb{D}^q_t\,f(t)  =\frac{d^q\,f(t)}{d(t-a)^q}=
=\lim_{N\to\infty}\left[\frac{t-a}{N}\right]^{-q}\sum_{j=0}^{N-1}(-1)^j{q\choose j}f\left(t-j\left[\frac{t-a}{N}\right]\right).
Формально похоже на интегро-дифференцирование Римана — Лиувилля, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.

Определения через преобразования[править | править вики-текст]

Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как \mathcal{F}:

F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,dt.

В Фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:

\mathcal{F}\left[\mathbb{D}f(t)\right]=\mathcal{F}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=i\omega\mathcal{F}[f(t)].

Поэтому,

\mathbb{D}f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{(i\omega)\mathcal{F}[f(t)]\right\},

что сводится к

\mathbb{D}^q\,f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{(i\omega)^q\mathcal{F}[f(t)]\right\}.

При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном \mathcal{L}, дифференцирование заменяется умножением

\mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=s\mathcal{L}[f(t)].

Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно \mathbb{D}^q f(t), получаем

\mathbb{D}^q\,f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{s^q\mathcal{L}[f(t)]\right\}.

Основные свойства[править | править вики-текст]

  • Линейность:
\mathbb{D}^q_t\,(f(t)+g(t))=\mathbb{D}^q_t\,f(t)+\mathbb{D}^q_t\,g(t);
\mathbb{D}^q_t\,(af(t))=a\,\mathbb{D}^q_t\,f(t).
  • Правило нуля:
\mathbb{D}^0_t\,t=t.
  • Дробное интегро-дифференцирование произведения:
\mathbb{D}^q_t\;(f(t)g(t))=\sum_{j=0}^\infty{q\choose j}\mathbb{D}^j_t\,f(t)\,\mathbb{D}^{q-j}_t g(t).
  • Полугрупповое свойство:
\mathbb{D}^a_t\mathbb{D}^b_t\,f(t)=\mathbb{D}^{a+b}_t f(t).

в общем случае не выполняется[1].

Некоторые важные формулы[править | править вики-текст]

  • \mathbb{D}^q(t^n)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+1-q)}t^{n-q};
  • \mathbb{D}^q(\sin(t))=\sin\left(t+\frac{q\pi}{2}\right);
  • \mathbb{D}^q(e^{at})=a^qe^{at}.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Журналы[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. см. Свойство 2.4 (стр. 75) в книге Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Elsevier, 2006.