Дробный идеал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В коммутативной алгебре, дробный идеал — это обобщение понятия идеала целостного кольца, особенно полезное при изучении дедекиндовых колец. Условно говоря, дробные идеалы — это идеалы со знаменателями. В случаях, когда одновременно обсуждаются дробные и обычные идеалы, последние называют целыми идеалами.

Основные определения[править | править вики-текст]

Пусть R — целостное кольцо, K — его поле частных. Дробный идеал кольца R — это R-подмодуль I поля K, такой что rI\subseteq R для некоторого r\in R. Интуитивно, r сокращается со знаменателями всех элементов I. Главные дробные идеалы — это дробные идеалы порожденные (как R-модули) единственным элементом поля K. Дробный идеал содержится в R тогда и только тогда, когда он является целым идеалом R.

Для двух дробных идеалов I, J можно определить из произведение IJ как множество всех конечных сумм  \sum_n i_n j_n, \ i_n \in I, \ j_n \in J : произведение IJ также является дробным идеалом. Дробный идеал I называется обратимым, если существует дробный идеал J, такой что IJ = R. Множество обратимых идеалов образует абелеву группу по произведению, тождественный элемент которой — само кольцо R. Эта группа называется группой дробных идеалов кольца R, главные дробные идеалы образуют в ней подгруппу. Ненулевой дробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он является проективным R-модулем.

Случай дедекиндовых колец[править | править вики-текст]

Дедекиндовы кольца выделяются среди целостных колец тем свойством, что каждый ненулевой дробный идеал обратим. В этом случае факторгруппа группы дробных идеалов по погруппе главных дробных идеалов называется группой классов идеалов и является важным инвариантом дедекиндова кольца. Обобщение понятия группы классов идеалов на случай недедекиндовых колец (и даже общих окольцованных пространств) называется группой Пикара[en].

Дивизорные идеалы[править | править вики-текст]

Обозначим через \tilde I пересечение всех главных дробных идеалов, содержащих ненулевой дробный идеал I. Эквивалентно,

\tilde I = (R : (R : I)),

где

(R : I) = \{ x \in K : xI \subseteq R \}

Дробный идеал, получающийся в результате применения такой операции, называется дивизорным идеалом. Или, эквивалентно, дивизорные идеалы — это все дробные идеалы I, такие что \tilde I = I. Произведение дивизорных идеалов является дивизорным идеалом, поэтому дивизорные идеалы образуют коммутативный моноид D(R). Этот моноид является группой тогда и только тогда, когда кольцо R вполне целозамкнуто.

Дивизорные идеалы обычно рассматривают для колец Крулля, в этом случае простые идеалы высоты 1 являются дивизорными и образуют базис абелевой группы D(R). Главные дробные идеалы являются дивизорными, факторгруппа D(R) по подгруппе главных дробных идеалов называется группой классов дивизоров.

Примечания[править | править вики-текст]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972 — глава 9.
  • Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971 — глава VII.
  • Matsumura, Hideyuki (1989), «Commutative ring theory», vol. 8 (2nd ed.), Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6  — Chapter 11.