Дуальные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типагиперкомплексные числа вида a+\varepsilon *b, где a и b — вещественные числа, а \varepsilon — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел a и b. Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел \mathbb{R}. В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид a*\varepsilon. Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

Замечание. Иногда дуальные числа называют двойными числами[1], хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел.

Определение[править | править исходный текст]

Алгебраическое определение[править | править исходный текст]

Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида (a,\;b), для которых определены операции умножения и сложения по правилам:

\ (a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2)
\ (a_1,\;b_1) * (a_2,\;b_2) = (a_1 a_2,\;a_1 b_2 + a_2 b_1)

Числа вида (a,\;0) отождествляются при этом с вещественными числами, а число (0,\;1) обозначается \varepsilon, после чего определяющие тождества примут вид:

\varepsilon^2=0,\quad(a,\;b)=a+b\varepsilon
(a_1+\varepsilon b_1)+(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1+a_2)+\varepsilon (b_1+b_2),
(a_1+\varepsilon b_1)(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1a_2)+\varepsilon (a_1b_2+a_2b_1).

Более кратко, кольцо дуальных чисел есть факторкольцо \R[x]/(x^2) кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом x^2.

Линейное представление[править | править исходный текст]

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим \varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}. Тогда произвольное дуальное число примет вид

a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}.

Показательная форма[править | править исходный текст]

Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x

Данная формула позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \cdots

При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:

\sinh \varepsilon x = \sin \varepsilon x = \varepsilon x
\cosh \varepsilon x = \cos \varepsilon x = 1

Арифметические операции[править | править исходный текст]

  • Сложение
    (a+b\varepsilon)+(c+d\varepsilon)=(a+c)+(b+d)\varepsilon
  • Вычитание
    (a+b\varepsilon)-(c+d\varepsilon)=(a-c)+(b-d)\varepsilon
  • Умножение
    (a+b\varepsilon)*(c+d\varepsilon)=(ac)+(bc+ad)\varepsilon
  • Деление
    \frac{a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \varepsilon

Корни[править | править исходный текст]

Корень n-й степени из числа вида a+\varepsilon b определяется как:

\sqrt[n]{a}+\frac{\varepsilon b} {n \sqrt[n]{a^{n-1}}}

Дифференцирование[править | править исходный текст]

Дуальные числа тесно связаны с дифференцированием функций. Рассмотрим аналитическую функцию f(x), область определения которой можно естественным образом продолжить до кольца дуальных чисел. Можно легко показать, что

f(x+y\varepsilon) = f(x) + y\varepsilon f'(x)

Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.

Можно провести аналогию между дуальными числами и числами нестандартного анализа. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел подобна бесконечно малому числу нестандартного анализа: любая степень (выше первой) \varepsilon в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если \delta — бесконечно малое число, то с точностью до o(\delta) кольцо гипердействительных чисел вида \R+\R\delta изоморфно кольцу дуальных чисел.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Дж. Хамфри Линейные алгебраические группы. — М.: Наука, 1980. — см. стр. 121

Литература[править | править исходный текст]