Дуальные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дуальные числа или комплексные числа параболического типа — гиперкомплексные числа вида , где a и b — вещественные числа, и . Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел a и b. Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей над полем вещественных чисел . В отличие от поля комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид . Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

Замечание. Иногда дуальные числа называют двойными числами^[1], хотя обычно под двойными числами понимается другая система гиперкомплексных чисел.

Содержание 1 Определение 1.1 Алгебраическое определение 1.2 Линейное представление 2 Дифференцирование 3 Примечания 4 Литература

[править] Определение

[править] Алгебраическое определение

Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида , для которых определены операции умножения и сложения по правилам:

Числа вида отождествляются при этом с вещественными числами, а число обозначается , после чего определяющие тождества принимют вид:

[править] Линейное представление

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим . Тогда произвольное дуальное число примет вид

.

[править] Дифференцирование

Дуальные числа позволяют автоматически производить дифференцирование функций. Рассмотрим для начала вещественный многочлен вида . Естественно продолжить его область определения с вещественных чисел на дуальные числа. Несложно убедиться, что при этом , где P' — производная многочлена P по x. После этого оказывается естественным продолжить область определения всех трансцендентных функций на плоскость дуальных чисел по правилу , где f' — производная функции f. Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.

Можно провести аналогию между дуальными числами и нестандартным анализом. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел во многом подобна бесконечно малому числу из нестандартного анализа: любая степень (выше первой) в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если δ — бесконечно малое число, то с точностью до O(δ²) гипердействительные числа изоморфны дуальным.

[править] Примечания

[править] Литература

• Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry (англ.)
• V.V. Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024 (англ.)