Душа (дифференциальная геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Душа — компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие риманова многообразия (M,g), являющееся его деформационным ретрактом.

Обычно предполагается, что (M,g) — полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.

Примеры[править | править вики-текст]

  • У параболоида M = {(x,y,z) : z = x2 + y2}, начало координат (0,0,0) — душа M. При этом не любая точка x, принадлежащая M, является его душой, так как могут существовать геодезические петли, начинающиеся в точке x.
  • У бесконечного цилиндра M = {(x,y,z) : x2 + y2 = 1} любая «горизонтальная» окружность {(x,y,z) : x2 + y2 = 1} с фиксированной z является душой M.

История[править | править вики-текст]

Термин душа введён Чигером (англ.) и Громолом (англ.) в 1972 году[1] в статье, где они в частности доказали теорему о душе. Теорема обобщала более раннюю теорему Громола и Мейера[2]. В той же статье Чигером и Громолом сформулирована гипотеза о душе, которая была доказана Григорием Перельманом[3] в 1994 году очень кратко и красиво.

Свойства[править | править вики-текст]

Ниже предполагаем, что (M,g) — это полное связное Риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.

Связанные открытые вопросы[править | править вики-текст]

  • Гипотеза о двойной душе утверждает[5], что любое компактное многообразие неотрицательной секционной кривизны можно покрыть двумя расслоениями на диски.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Cheeger, Jeff & Gromoll, Detlef (1972), "«On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature»", Annals of Mathematics. Second Series Т. 96: 413-443, MR0309010, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1970819 
  2. Gromoll, Detlef & Meyer, Wolfgang (1969), "«On complete open manifolds of positive curvature»", Annals of Mathematics. Second Series Т. 90: 75-90, MR0247590, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1970682 
  3. Perelman, Grigori (1994), "«Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll»", Journal of Differential Geometry Т. 40 (1): 209-212, MR1285534, ISSN 0022-040X, <http://www.intlpress.com/JDG/archive/1994/40-1-209.pdf> 
  4. Шарафутдинов, V. A. (1979), "«О выпуклых множествах в многообразии неотрицательной кривизны»", Матем. заметки Т. 26 (1): 129—136 
  5. K. Grove, Geometry of and via smmetries