Дюрация

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дюрация (англ. duration — длительность) — это средневзвешенный срок потока платежей, причем весами являются дисконтированные стоимости платежей. Дюрация является важнейшей характеристикой денежного потока, определяющая чувствительность его текущей стоимости к изменению процентной ставки. Дюрация потока зависит не только от его структуры, но и от текущей процентной ставки. Чем выше ставка, тем меньше доля стоимости дальних выплат по сравнению с короткими и тем меньше дюрация, и наоборот, чем меньше ставка, тем больше дюрация потока платежей.

Понятие дюрации было введено американским ученым Ф. Маколи (F.R. Macaulay).

Определение, формула расчета и интерпретации[править | править вики-текст]

Дюрация — средневзвешенный срок[править | править вики-текст]

Дюрация рассчитывается по формуле средневзвешенной следующим образом:

 D = \overline{T} =
\frac 
{\sum_{i} 
\ PV_i \cdot t_i }
{\sum_i PV_i }=
\frac {\sum_{i} \frac {CF_i} {(1+r)^{t_i}} \cdot t_i} 
{\sum_{i} \frac {CF_i} {(1+r)^{t_i}}}

где

В знаменателе этой формулы находится оценка текущей стоимости денежного потока при данной ставке дисконтирования. Если денежный поток порождается финансовым инструментом, имеющим рыночную (или иную) оценку P текущей цены, то в качестве ставки дисконтирования в данном случае используют собственную внутреннюю доходность этого инструмента (для облигаций — доходность к погашению). Эта ставка определяется из равенства

P=PV(r)= \sum_{i} \frac {CF_i} {(1+r)^{t_i}}

Предполагается, что рынок эффективно определяет необходимую ставку дисконтирования и отражает требуемую доходность инструментов с аналогичным уровнем рисков.

Дюрация — мера процентного риска[править | править вики-текст]

Если рассматривать дисконтированную стоимость денежного потока как функцию процентной ставки, то можно показать, что дюрация денежного потока равна взятой с обратным знаком эластичности (логарифмической производной) дисконтированной стоимости денежного потока по процентной ставке (точнее по 1+r), то есть:

D=-\frac {d \ln PV}{d \ln(1+r)}=-\frac {d PV/PV}{d(1+r)/(1+r)}=-\frac {1+r}{PV} \frac {d PV}{dr}

Следовательно,

d PV/PV = -D d \ln (1+r)=-D dr /(1+r)

При малых изменениях ставок дифференциалы можно заменить просто изменениями:

\delta PV=\Delta PV/PV \approx =-D \delta r=-D \Delta r /(1+r)

Таким образом дюрация позволяет упрощенно оценить степень зависимости рыночной цены инструмента от изменения процентной ставки. Чем больше дюрация инструмента, тем значительнее изменения ее рыночной стоимости при изменении процентных ставок, то есть тем выше процентный риск.

Модифицированная дюрация[править | править вики-текст]

Если в приведенном выше приближенном равенстве использовать так называемую модифицированную дюрацию, равную

MD=-\frac {d \ln PV}{dr}=D/(1+r),

оценка чувствительности к изменению процентной ставки упрощается:

\delta PV \approx -MD \cdot  \Delta r

Замечание[править | править вики-текст]

При оценке возможного изменения текущей стоимости денежного потока с помощью (модифицированной) дюрации следует учесть приблизительный характер этой оценки. Причем кроме количественной неточности имеется также качественное различие между истинной зависимостью и линеаризированной с помощью дюрации или модифицированной дюрации: одинаковые положительные и отрицательные изменения процентной ставки одинаково по абсолютной величине влияют на изменение цены. В реальности это не так — цена асимметрично изменяется при увеличении и снижении ставок, а именно снижение ставки приводит к большему росту цены, чем снижение цены при повышении ставки на ту же абсолютную величину. С целью уточнения (как количественного, так и качественного) наряду с дюрацией используют также так называемую выпуклость денежного потока, представляющую собой поправку второго порядка. Эта поправка к изменению цены зависит от квадрата изменения ставки (то есть не зависит от знака), поэтому при росте ставок она уменьшает степень снижения цены, предсказываемую дюрацией, а при снижении ставки — увеличивает рост, оцененный по дюрации. Тем самым учитывается и асимметричность и оценка уточняется количественно.

Другой вариант более точной оценки основан на том, что качественная неточность связана не только (и не столько) с линеаризацией, но и с заменой изменений логарифмов на обычные темпы прироста. Если использовать сами логарифмы, то оценки качественно будут более адекватны истинной зависимости (хотя количественная неточность будет также иметь место):

\Delta \ln PV=-D \Delta \ln (1+r)

Из этого соотношения выводится следующая более истинная примерная зависимость изменения текущей стоимости:

\delta PV \approx (1+\Delta r/(1+r))^{-D}-1

В этой зависимости асимметричность естественно учтена (такой способ расчета более точный, но несколько менее удобен из-за нелинейности зависимости).

Дополнительная интерпретация[править | править вики-текст]

Учитывая последнее вышеприведенное приближенное равенство можно дать дюрации еще одну интерпретацию. Рассмотрим как примерно изменится текущая стоимость потока, если ставка процента уменьшится до нуля (\Delta r=0-r=-r):

\delta PV \approx (1+(-r)/(1+r))^{-D}-1=(1+r)^D-1

Следовательно,

P(0) \approx P(r) (1+r)^D

Очевидно, что P(0)=\sum_i CF_i — суммарная величина денежного потока. Таким образом, дюрацию (при данной ставке) можно интерпретировать также как примерный срок, на который нужно вложить сумму P(r) под ставку r, чтобы в конце этого срока получить сумму равную суммарной величине денежного потока. Эта интерпретация тем точнее, чем меньше ставка.

Дюрация некоторых потоков платежей[править | править вики-текст]

Дюрация аннуитета[править | править вики-текст]

Можно показать, что дюрация аннуитета, ограниченного сроком T, равна следующей величине:

D=\frac {1+r} {r}- \frac {T} {(1+r)^T-1}

Модифицированную дюрацию можно получить разделением на 1+r.

Для вечного аннуитета формулу дюрации можно определить как предел приведенной формулы при T \rightarrow \infty (второе слагаемое в этом случае будет стремиться к нулю). Можно также вывести формулу непосредственно. Приведенная стоимость вечного аннуитета равна PV=A/r. Воспользуемся формулой через произодную. Производная этой функции по r, очевидно равна - A / r^2. Умножая эту величину на (1+r) и разделив на PV, получим окончательно формулу дюрации:

D=(1+r)/r

Модифицированная дюрация, очевидно равна в этом случае MD=1/r.

Дюрация облигации[править | править вики-текст]

Для бескупонной облигации номиналом N со сроком погашения t текущая стоиомсть равна

PV =N / (1+r)^t

Она же совпадает с дисконтированной стоимостью единственного платежа, поэтому ее дюрация просто равна сроку облигации:

D=t

В случае купонной облигации денежный поток состоит из купонных платежей и погашения номинала. При этом погашение номинала может быть частями (амортизация) и купонная ставка может вообще говоря изменяться в течение срока обращения облигации. Если величину купонов обозначить C_i, а гашения номинала N_j, то дюрация облигации будет равна

D=\frac {\sum^m_{i=1}\frac {C_i}{(1+r)^{t_i}}t_i+\sum^k_{j=1}\frac {N_j}{(1+r)^{t_j}}t_j} {P}

где P — цена облигации (предполагается что в качестве r используется доходность к погашению облигации, поэтому PV(r)=P).

Формула будет иметь точно такой же вид, если вместо величины купонов C_i использовать соответствующие купонные ставки, вместо сумм гашений номинала N_j — доли гашений номинала, а вместо цены облигации в денежном выражении P использовать стандартную цену в процентах (долях) от номинала.

При прочих равных условиях, чем больше срок погашения и (или) купонная ставка и (или) доходность к погашению, тем больше дюрация облигации. При прочих равных условиях чем чаще выплачивается купон, тем меньше дюрация.

В простейшем случае постоянной купонной ставки и единовременного гашения номинала в конце срока для расчета дюрации можно использовать встроенную в Microsoft Office Excel 2007 функцию ДЛИТ.

Пример[править | править вики-текст]

Пусть дана купонная облигация номиналом 1000 рублей с остаточным сроком погашения 2 года и 3 месяца. Гашение облигации единовременное в конце срока. Купонная доходность — 12 % годовых. Частота выплаты купона — 4 раза в год (то есть размер купона — 30 рублей). Предполагается, что первый купон ожидается также через 3 месяца Текущая рыночная цена облигации — 1035,85 рублей.

Денежный поток от облигации (поквартально) будет иметь вид (30,30,30,30,30,30,30,1030). В первую очередь, с помощью встроенной в Excel функции ВСД можно определить доходность к погашению — примерно 2,5 % в квартал. В годовом исчислении это около 10,38 % (с учетом сложных процентов), однако в данном случае это не имеет значения. Дюрация будет равна

D=\frac {1}{1035.85} (1 \cdot 30/1.025^1+2 \cdot 30/1.025^2+3 \cdot 30/1.025^3+4 \cdot 30/1.025^4+5 \cdot 30/1.025^5+6 \cdot 30/1.025^6+7 \cdot 30/1.025^7+8 \cdot 1030/1.025^8)\approx

\approx(29.27+57.11+83.57+108.71+132.58+155.2+176.67+6762.95)/1035,85 \approx 7506.1/1035.85 \approx 7.246

То есть примерно 7,25 кварталов или 1,81 лет (примерно 1 год и 10 месяцев) или 661 день. С помощью дюрации в годах можно оценить на сколько процентов изменится цена облигации при изменении доходности например на 1 % годовых. Для этого оценим модифицированную дюрацию: 1.81/1.1035=1.64. Следовательно, процент изменения цены составит 1,64 %. Это примерно соответствует цене 1052,84 рублей при снижении ставок и 1018,86 руб. при повышении ставок. Конечно это неточная оценка. Можно оценить сколько точно будет цена при соответствующей доходности.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]