Евклидово кольцо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В общей алгебре евклидово кольцо (эвклидово кольцо) — кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.

Евклидовы кольца можно изобразить на следующей цепочке включений:

Коммутативные кольцацелостные кольцафакториальные кольцаобласти главных идеаловевклидовы кольцаполя

Определение[править | править вики-текст]

Евклидово кольцо — это область целостности R, для которой определена евклидова функция (евклидова норма) d\colon R \to \mathbb N_0 \cup \{-\infty\} , причём d(a)=-\infty \Leftrightarrow a=0, и возможно деление с остатком, по норме меньшим делителя, то есть для любых a,b\in R,\, b\ne 0 имеется представление a=bq+r, для которого d(r)<d(b).

Замечание[править | править вики-текст]

Часто на евклидову норму накладывают дополнительное ограничение: d(a)\leqslant d(ab) для любых a и ненулевых b из кольца R. Если на R задана норма, не удовлетворяющая этому условию, её можно поправить, переопределив:

d'(a) = \min_{x\in R\setminus\{0\}} d(ax)

Такая норма нужному неравенству удовлетворяет, однако прежний алгоритм деления с остатком уже не годится — его тоже надо поправлять. Пусть x\in R таков, что d'(b) = d(bx). Разделим с остатком ax на bx: ax = bxq' + r'x, где r' = a - bq' и d(r'x)<d(bx)=d'(b). Так как из определения d'(r')\leqslant d(r'x), мы получили представление a = bq' + r' с d'(r')<d'(b), что и требовалось.

Тем не менее, преимуществ у такой нормы не так много — все обратимые элементы имеют одно и то же значение нормы, причём минимальное из всех (конечных), собственные делители элемента a имеют меньшее значение нормы, а также упрощается непосредственное доказательство факториальности евклидовых колец (без ссылки на факториальность колец главных идеалов, доказательство чего требует применения трансфинитной индукции). Основные же свойства евклидовых колец остаются в силе и без этого дополнительного свойства.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Кольцо целых чисел \mathbb{Z}. Пример евклидовой функции — абсолютная величина |\cdot|.
  • Кольцо целых гауссовых чисел \mathbb{Z}[i] (где i — мнимая единица, i^2 = -1) с нормой d(a+ib) = a^2 + b^2 — евклидово.
  • Произвольное поле K является евклидовым кольцом с нормой, равной 1 для всех элементов, кроме 0.
  • Кольцо многочленов в одной переменной K[x] над полем K. Пример евклидовой функции — степень deg.
  • Кольцо формальных степенных рядов K[[x]] над полем K является евклидовым кольцом. Норма степенного ряда — номер первого ненулевого коэффициента в нём (для нулевого ряда норма равна минус бесконечности).
    • Более общо, всякое локальное кольцо является евклидовым, если в нём максимальный идеал является главным и пересечение всех его степеней состоит только из нуля. Норма обратимого элемента равна 0, необратимого ненулевого — максимальной степени максимального идеала, которая содержит данный элемент, а норма нуля — минус бесконечность.
  • Кольцо функций H(K), голоморфных на связном компакте K в C (каждая из них должна быть голоморфна в какой-нибудь окрестности этого компакта; две такие функции считаются равными в H(K), если они совпадают в некоторой окрестности K), тоже евклидово. За норму ненулевой функции принимается число нулей (с учётом кратности), которые она принимает на K.
  • Счётное пересечение евклидовых колец (подколец в каком-нибудь кольце) не обязано быть евклидовым кольцом (и даже нётеровым или факториальным). Например, кольцо функций H(D), голоморфных в открытом круге D, является пересечением евклидовых колец функций H(K), голоморфных на замкнутых кругах K, содержащихся внутри D (см. предыдущий пример), однако оно ни нётерово, ни факториально, соответственно, и неевклидово.
  • Кольцо частных S−1R евклидова кольца R по мультипликативной системе S тоже является евклидовым. Нормой дроби x из S−1R принимается
d_S(x) = \min\{d_R(u):\,(u,s)\in R\times S, \, x=u/s\}, где d_R — евклидова норма в R, а d_S — норма в S−1R.
Деление с остатком определяется так. Пусть есть две ненулевые дроби x=r/t и y из S−1R. По определению нормы в S−1R существует элементы u в R и s в S, такие что y=u/s и d_S(y) = d_R(u) . Произведём деление с остатком в кольце R элементов rs и u:
rs = uq + r', так что d_R(r')<d_R(u). Тогда r/t = (u/s)(q/t) + r'/ts. Из построения следуют неравенства d_S(r'/ts)\leqslant d_R(r')< d_R(u) = d_S(y).

Алгоритм Евклида[править | править вики-текст]

В евклидовом кольце осуществим алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (элементов). Пусть изначально даны два элемента a0 и a1, причём d(a_1)\leqslant d(a_0) и a_1\ne 0. Деление с остатком даёт элемент a_2 = a_0 - a_1q_1 с d(a_2)<d(a_1). Если он не равен нулю, можно опять применить деление с остатком, и получить элемент a_3 = a_1 - a_2q_2, и т. д. Таким образом генерируется цепочка значений a_0, a_1, a_2, \dots с d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\dots. Однако эта цепочка прерывается, поскольку всякое число из N\cup\{-\infty\} может строго превосходить лишь конечное количество других таких чисел. Это означает, что при некотором n остаток an+1 равен нулю, а an не равен, он и есть НОД элементов a0 и a1. Следовательно, в евклидовом кольце гарантировано завершение алгоритма Евклида. Строго говоря, именно в евклидовых кольцах и возможна реализация алгоритма Евклида.

Свойства евклидовых колец[править | править вики-текст]

  • В евклидовом кольце каждый идеал — главный (в частности, все евклидовы кольца нётеровы).
    • Пусть I — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь 0, — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент f с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: Если g — произвольный элемент идеала I, представим его в виде g = fq + r с d(r) < d(f). Тогда r — тоже элемент идеала I и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у f. Следовательно, идеал I содержится в идеале (f). С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент f, содержит идеал (f). Значит, I = (f) — главный идеал.
  • Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность — общее свойство всех колец главных идеалов.
  • Каждое евклидово кольцо R целозамкнуто, то есть если дробь a/b,\,a,b\in R, является корнем многочлена f\in R[x] со старшим коэффициентом, равным 1, тогда a делится на b. Целозамкнутость — общее свойство всех факториальных колец.

Свойства модулей над евклидовым кольцом[править | править вики-текст]

Пусть R — евклидово кольцо. Тогда конечнопорождённые R-модули обладают следующими свойствами:

  • Всякий подмодуль N конечнопорождённого R-модуля M конечно порождён (следствие нётеровости кольца R).
  • Ранг подмодуля N не превосходит ранга модуля M (следствие главности идеалов в R).
  • Подмодуль свободного R-модуля свободен (тоже).
  • Гомоморфизм A: N\to M конечнопорождённых R-модулей всегда приводится к нормальной форме. То есть существуют образующие (базис, если модуль свободен) u_1, u_2, \dots, u_n модуля N, образующие (базис) v_1, v_2, \dots, v_m модуля M, номер k\leqslant \min\{m,n\} и a_1,\dots,a_k — элементы кольца R, такие что a_i делит a_{i+1} и при i > k Au_i = 0, а при остальных — Au_i = a_iv_i. При этом коэффициенты a_1,\dots,a_k определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца R. (Тут прямо задействована евклидовость кольца R.)

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Weisstein, Eric W. Евклидово кольцо (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Б. Л. ван дер Варден. Алгебра. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9.
  • Родосский К. А. Алгоритм Евклида. — М.: Наука, 1988. — 239 с.
  • J. von zur Gathen, J. Gerhard. Modern Computer Algebra. — Cambridge University Press, 1999. — 771 p. — ISBN 0-521-82646-2.