Единичная окружность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности можно легко обобщить до n-мерного пространства (n>2). В таком случае используется термин «единичная сфера».

Для координат всех точек на окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство x^2 + y^2 = 1.

Не путайте термины «окружность» и «круг»!

Тригонометрические функции[править | править вики-текст]

Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: соединив любую точку (x, y) на единичной окружности с началом координат (0, 0), мы получаем отрезок, находящийся под углом \alpha относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

\cos\alpha = x
\sin\alpha = y

Подставив эти значения в вышеуказанное уравнение x^2 + y^2 = 1, мы получаем:

\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1

Обратите внимание на общепринятое написание \cos^2x = (\cos x)^2.

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как угол отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)
\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)

для всех целых чисел k, то есть для k\in \mathbb Z.

Комплексная плоскость[править | править вики-текст]

В комплексной плоскости единичная окружность — это следующее множество G \subset \mathbb{C}:

G = \{z : \mathrm{Re}\{z\}^2 + \mathrm{Im}\{z\}^2 = 1 \} =  \{z : z = e^{i\phi}, 0 \leq \phi < 2\pi\}

Множество G является подгруппой группы комплексных чисел по умножению, её нейтральный элемент — это e^{i0}=1).

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]