Единичная окружность

Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности можно легко обобщить до n-мерного пространства ($n>2$). В таком случае используется термин «единичная сфера».

Для всех точек на окружности действительно согласно с теоремой Пифагора: $x^2 + y^2 = 1$.

Не путайте термины «окружность» и «круг»!

• Окружность — геометрическое место точек, расположенное на данном расстоянии от данной точки, на одной плоскости — кривая.
• Круг — геометрическое место точек, расположенное не дальше чем окружность, на одной плоскости — фигура.

Тригонометрические функции

Все тригонометрические функции, сконструированные геометрически к углу θ в единичном кругу.

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: соединив любую точку $(x, y)$ на единичной окружности с началом координат $(0, 0)$, мы получаем отрезок, находящийся под углом $\alpha$ относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

$\cos\alpha = x$

$\sin\alpha = y$

Подставив эти значения в вышеуказанное уравнение $x^2 + y^2 = 1$, мы получаем:

$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$

Обратите внимание на общепринятое написание $\cos^2x = (\cos x)^2$.

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как угол отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

$\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)$

$\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$

для всех целых чисел $k$, иными словами, $k$ принадлежит $Z$.

Комплексная плоскость

В комплексной плоскости единичную окружность описывает множество $G \subset \mathbb{C}$:

$G = \{z : Re\{z\}^2 + Im\{z\}^2 = 1 \} \quad = \quad \{z : z = e^{i\phi}, 0 \leq \phi < 2\pi\}$

Множество $G$ удоволетворяет условиям мультипликативной группы (с нейтральным элементом $e^{i0}=1$).

См. также

• Единичная сфера
• Единичный квадрат
• Единичный куб