Естественное преобразование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий есте́ственное преобразова́ние предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру (например, композиции морфизмов). Поэтому естественное преобразование можно понимать как «функторный морфизм». Эта интуиция может быть строго формализована в определение категории функторов. Естественные преобразования — наиболее базовое определение в теории категорий после категорий и функторов, поэтому оно появляется в большинстве её приложений.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть F и G — ковариантные функторы из категории C в D. Тогда естественное преобразование сопоставляет каждому объекту X категории C морфизм \eta_X\colon F(X) \to G(X) в категории D, называемый компонентой \eta в X, так, что для любого морфизма f\colon X \to Y диаграмма, изображённая на рисунке ниже, коммутативна. В случае контравариантных функторов C и D определение совершенно аналогично (необходимо только обратить горизонтальные стрелки, учитывая, что их обращает контравариантный морфизм).

Natural transformation.svg

Если η — естественное преобразование функтора F в функтор G, мы пишем η : FG. Также об этом говорят, что семейство морфизмов ηX : F(X) → G(X) естественно по X.

Если для каждого X в C, морфизм ηX является изоморфизмом в D, то η называют естественным изоморфизмом (или, иногда, естественной эквивалентностью или изоморфизмом функторов).

Инфраестественное преобразование η из F в G — это просто семейство морфизмов ηX: F(X) → G(X). Натуралайзер η, nat(η), — это самая большая подкатегория C, содержащая те объекты C, в ограничении на которые η является естественным преобразованием.

Если η : FG и ε : GH — естественные преобразования, мы можем взять их композицию и получить естественное преобразование εη : FH. Это делается покомпонентно: (εη)X = εXηX. Эта операция ассоциативна и имеет единицу, что позволяет образовать категорию функторов.

Примеры[править | править исходный текст]

Пример естественного преобразования[править | править исходный текст]

Примером естественного преобразования может служить определитель. В самом деле пусть R — коммутативное кольцо, тогда квадратные матрицы порядка n над R образуют моноид по умножению, а R' — мультипликативный моноид самого кольца R. Пусть \mathbf{Mat}_n(R) будет функтором, переводящим кольцо R в моноид матриц над ним. Поскольку определитель выражается через умножение, сложение и вычитание, которые сохраняются морфизмами кольца R (что означает перестановочность морфизма и этих операций), отображение \mathbf{Mat}_n(R)\rightarrow \det(\mathbf{Mat}_n(R)) будет естественным преобразованием между функтором \mathbf{Mat}_n(R) и функтором, тождественно сопоставляющим каждому кольцу R его мультипликативный моноид (оба функтора из категории \mathbf{CRing} коммутативных колец в категорию моноидов \mathbf{Mon}).

Пример «неестественного» преобразования[править | править исходный текст]

Приведём пример преобразования, не являющегося естественным. Пусть V — n-мерное векторное пространство над полем \Bbb F. e_1,e_2,\dots,e_n — его базис, e^1,e^2,\dots,e^n — базис сопряжённого пространства функционалов D(V), такой что

e^i(e_j) = \delta^i_j

где \delta^i_j — символ Кронекера. Все n-мерные пространства изоморфны. Положим

k(e_i)=e^i

и распространим k линейно на всё пространство V. k отображает тождественный (очевидно ковариантный) функтор I в контравариантный функтор D, отображающий векторное пространство в сопряжённое пространство функционалов. Если мы возьмём категорию конечномерных векторных пространств, где морфизмами будут изоморфизмы f (а не любые линейные отображения), то можно заменить контравариантный функтор D ковариантным функтором D' (где D'(V) = D(V), D'(f) = D(f^{-1})). Преобразование k\colon V \to D(V) не будет естественным даже в простейшем случае одномерного пространства над полем действительных чисел. В самом деле, пусть V одномерно и изоморфизм f\colon V\to V является умножением на 2:

f(e_1) = 2 e_1

Тогда D'(f)(k(e_1)) = {1 \over 2}e_1, в то время как k(f(e_1)) = 2 e^1, то есть диаграмма некоммутативна.

Причина этого совершенно ясна — k определяется совершенно случайно выбранным базисом. Если мы возьмём второе сопряжённое пространство D(D(V)), то в случае конечномерного пространства существует изоморфизм h\colon V \to D(D(V)) (а именно h(x)(f) = f(x) для любого x\in V и функционала f\in D(V)). В данном случае изоморфизм h определяет естественное преобразование тождественного функтора I в функтор D^2.

Полиморфные функции[править | править исходный текст]

Другой важнейший пример естественных преобразований — полиморфные функции (имеется в виду параметрический полиморфизм). Примером такого преобразования является функция reverse :: forall a . [a] -> [a], переворачивающая список элементов произвольного типа. В данном случае h(T) — это reverseT :: [T] -> [T]; а функторы F и G — это List.

Сформулировать этот факт можно так: forall f :: a -> b : map f . reversea = reverseb . map f. Это — одна из так называемых «бесплатных теорем».

Естественность всех параметрически полиморфных функций — это следствие теоремы Рейнольдса.

Литература[править | править исходный текст]

  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии — М.: Мир, 1976.
  • Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1966.
  • Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004.
  • Wadler, Philip — Theorems for free!