Эта статья выставлена на рецензию

Ехиднаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Ехиднаэдр
Seventeenth stellation of icosahedron.png
Группа симметрии Икосаэдрическая (Ih)
Тип Звёздчатая форма икосаэдра
Обозначения Du Val H
Веннинджер: W42
Элементы
(в форме звёздчатого многогранника)
Г = 20, Р = 90
В = 60 (χ = −10)
Элементы
(в форме созвездия икосаэдра)
Г = 180, Р = 270
В = 92 (χ = 2)
Свойства
(как звёздчатого многогранника)
Вершино-транзитивный, гране-транзитивный
Эннеаграмма ехиднаэдра Ядро звёздчатого многогранника Выпуклая оболочка
Seventeenth stellation of icosahedron facets.png Icosahedron.png
Икосаэдр
Complete icosahedron convex hull.png
Усечённый икосаэдр

Ехидна́эдр (англ. echidnahedron) — последняя звёздчатая форма икосаэдра[1][2], также называют полной или завершающей формой икосаэдра, так как она включает в себя все ячейки звёздчатой диаграммы[en] икосаэдра. Название ехиднаэдру дал Эндрю Хьюм, опираясь на то, что его телесные углы при вершинах малы и это делает его похожим на колючего ежа или ехидну[3].

Этот многогранник является семнадцатой звёздчатой формой икосаэдра и имеет индекс 42 в модели Веннинджера.

Как геометрическая фигура ехиднаэдр имеет два толкования, описанные ниже:

  • В форме неправильного звёздчатого многогранника, имеющего 20 самопересекающихся идентичных граней, 90 рёбер и 60 вершин.
  • В форме простого многогранника, имеющего 180 треугольных граней (60 равнобедренных, 120 разносторонних), 270 рёбер и 92 вершины. Модель многогранника[en] строится на основе этой интерпретации.

Иоганн Кеплер исследовал правильные звёздчатые многогранники (тела Кеплера-Пуансо) в 1619 году, но неправильные звёздчатые многогранники впервые были описаны Максом Брюкнером в 1900 году.

История[править | править вики-текст]

Kepler-Poinsot solids.svg

  • 1619: В трактате Harmonices Mundi Иоганн Кеплер впервые в научной литературе описывает математическое обоснование свойств двух типов правильных звёздчатых многогранников: малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр[4].
  • 1809: Луи Пуансо заново открыл многогранники Кеплера, а также открыл ещё два звёздчатых многогранника: большой додекаэдр и большой икосаэдр, которые теперь называют телами Кеплера-Пуансо[5].
  • 1812: Огюстен Коши доказал, что существует только 4 вида правильных звёздчатых многогранников[6][4].
  • 1900: Макс Брюкнер опубликовал классическую работу о многогранниках, озаглавленную "Vielecke und Vielflache", где были описаны 10 звёздчатых форм икосаэдра, включая ехиднаэдр[7].
  • 1924: A.H. Wheeler опубликовал список 20 звёздчатых форм (22, включая копии), и в том числе ехиднаэдр[8].
  • 1938: H. S. M. Coxeter, P. Du Val, H. T. Flather и J. F. Petrie в книге The Fifty Nine Icosahedra провели систематическое и полное исследование вопроса, где применили правила ограничения, установленные Дж. Миллером. Кокстер доказал, что существует всего 59 звёздчатых форм икосаэдра, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией. Ехиднаэдр занимает восьмое место в книге[1].
  • 1974: В книге Магнуса Веннинджера List of Wenninger polyhedron models, ехиднаэдр включён как 17-я модель икосаэдра с индексом W42.
  • 1995: Andrew Hume дал название последней звёздчатой форме икосаэдра в своей базе данных NETLIB как echidnahedron[9] (ехидна, или колючий муравьед, является небольшим млекопитающим, покрыта жесткими волосами и шипами и сворачивается в клубок, чтобы защитить себя).
База данных Netlib охватывает все регулярные многогранники, архимедовы тела, ряд призм и антипризм, все многогранники Джонсона (выпуклые многогранники, у которых каждая грань — правильный многоугольник) и некоторые странные многогранники, включая ехиднаэдр (моё название, на самом деле это завершающая форма икосаэдра).

[3]

Представление[править | править вики-текст]

Как завершающая форма икосаэдра[править | править вики-текст]

Диаграмма 58-й звёздчатой формы икосаэдра. «13» здесь обозначает количество групп симметричности

Эта звёздчатая форма многогранника образуется путём присоединения к икосаэдру всех отсеков, получаемых при продлении граней икосаэдра бесконечными плоскостями[10]. Таким образом, создается новый многогранник, ограниченный этими плоскостями как гранями, а пересечениями этих плоскостей являются рёбра. В книге «Пятьдесят девять икосаэдров» перечислены созвездия икосаэдра (включая ехиднаэдр) в соответствии с набором правил, выдвинутым Джеффри Миллером. Символ Дю Валя[11] ехиднаэдра — это H, поскольку он включает все ячейки в схеме созвездия, в том числе наиболее удалённый «h» уровень[12].

В форме созвездия икосаэдра[править | править вики-текст]

Как простая, видимая поверхность многогранника, внешняя форма ехиднаэдра состоит из 180 треугольных граней, которые образуют 270 рёбер, которые, в свою очередь, встречаются в 92 вершинах. Эйлерова характеристика ехиднаэдра = 2[13].

Все вершины ехиднаэдра лежат на поверхности трех концентрических сфер. Внутренняя группа из 20 вершин образует вершины правильного додекаэдра; следующий слой из 12 вершин образует вершины правильного икосаэдра; и наружный слой из 60 вершин образует вершины усеченного икосаэдра. Радиусы этих сфер находятся в соотношении[14]:

\sqrt {\frac {3}{2} \left (3 + \sqrt{5} \right ) } \, : \,
\sqrt {\frac {1}{2} \left (25 + 11\sqrt{5} \right ) } \, : \,
\sqrt {\frac {1}{2} \left (97 + 43\sqrt{5} \right ) } \, .
Выпуклые оболочки каждой сферы вершин
Внутренняя Средняя Внешняя Все три
20 вершин 12 вершин 60 вершин 92 вершины
Dodecahedron.png
Додекаэдр
Icosahedron.png
Икосаэдр
Complete icosahedron convex hull.png
Усечённый икосаэдр
Complete icosahedron ortho stella.png
Ехиднаэдр

Если рассматривать ехиднаэдр как трёхмерный объект с длинами рёбер a, φa, φ2a и φ2a√2 (где φ является золотым сечением), то площадь поверхности ехиднаэдра составляет[14]:

S=\frac{1}{20}(13211 + \sqrt{174306161})a^2\, ,

а объём[14]:

V=(210+90\sqrt{5})a^3\, .

В форме звёздчатого многогранника[править | править вики-текст]

Двадцать (9/4) многоугольных граней (одна из граней обозначена жёлтым с 9-ю пронумерованными вершинами)
Звёздчатая диаграмма икосаэдра с пронумерованными ячейками. Ехиднаэдр образован всеми ячейками в эннеаграмме, но только внешние области, обозначенные числом «13» на диаграмме, видны

Завершающая звёздчатая форма икосаэдра также может быть рассмотрена как самопересекающийся звёздчатый многогранник, имеющий 20 граней, соответствующим 20 граням икосаэдра. Каждая грань является неправильным звёздчатым многоугольником (или эннеаграммой)[6]. Каждые три грани образуют одну вершину, поэтому ехиднаэдр имеет 20 × 9 ÷ 3 = 60 вершин (этот внешний слой вершин и образует кончики "колючки") и 20 × 9 ÷ 2 = 90 рёбер (каждое ребро звёздчатого многогранника включает 2 из 180 видимых рёбер многогранника).

Если рассматривать ехиднаэдр как звёздчатый многогранник, то завершающая форма икосаэдра является благородным многогранником, так как он является равногранным (гране-транзитивным) и изогональным (вершинно-транзитивным).

Если бы грани ехиднаэдра являлись правильными эннаграммами, его можно было бы рассматривать как правильный многогранник с символом Шлефли {9/4,3}. Это означает, что в каждой вершине сходятся 3 грани, где каждая грань представляет собой неправильный 9/4 звёздчатый многоугольник[6].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Coxeter et al., 1999
  2. Wenninger, 1971
  3. 1 2 Polyhedra database
  4. 1 2 MathWorld
  5. Louis Poinsot, 1810
  6. 1 2 3 Peter R. Cromwell, 1997
  7. Max Brückner, 1900
  8. A. H. Wheeler, 1924
  9. Andew Hume, model 141
  10. Веннинджер, модель №42
  11. Дю Валь изобрёл символическое обозначение для идентификации наборов конгруэнтных ячеек, основанное на наблюдении, что они расположены в «оболочках» вокруг исходного икосаэдра.
  12. Peter R. Cromwell, 1997, с. 259
  13. Polyhedra.org
  14. 1 2 3 Echidnahedron

Литература[править | править вики-текст]

  • Harold Scott MacDonald Coxeter, P. Du Val, H. T. Flather, J. F. Petrie Пятьдесят Девять Икосаэдров = The Fifty-Nine Icosahedra. — 3-е изд. — Tarquin, 1999. — P. 30–31. — 72 p. — ISBN 978-1-899618-32-3.
  • Magnus J. Wenninger Модели многогранников = Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1971. — P. 65. — ISBN 0-521-09859-9.
  • Louis Poinsot Записки о многоугольниках и многогранниках = Memoire sur les polygones et polyèdres. — J. de l'École Polytechnique, 1810. — P. 16–48.
  • Peter R. Cromwell Многогранники = Polyhedra. — Cambridge University Press, 1997. — P. 268. — ISBN 0-521-66405-5.
  • Max Brückner Многоугольники и многогранники: теория и история = Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. — Leipzig: B. G. Teubner Verlag, 1900. — ISBN 978-1-4181-6590-1.
  • A. H. Wheeler Некоторые формы икосаэдра и метод получения и обозначения высших многогранников = Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra. — Toronto: Proc. Internat. Math. Congress, 1924. — Vol. 1. — P. 701–708.
  • Gerald Jenkins, Magdalen Bear Ехиднаэдр: расширенная математическая модель - вырезать и склеить = The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together. — Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. — ISBN 978-0-906212-48-6.

Ссылки[править | править вики-текст]