Жорданова матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Жорданова матрица (нормальная жорданова форма) — одно из фундаментальных понятий линейной алгебры, имеющее большое число приложений в различных разделах математики и физики.

Жордановой матрицей называется квадратная блочно-диагональная матрица над полем \Bbb K, с блоками вида

J_\lambda=\begin{pmatrix}
\lambda & 1       & 0             & \cdots & 0       & 0      \\
0           & \lambda & 1             & \cdots & 0       & 0      \\
0           & 0       & \lambda       & \ddots & 0       & 0      \\
\vdots   & \vdots  & \ddots     & \ddots & \ddots  & \vdots \\
0           & 0       & 0             & \ddots & \lambda & 1      \\
0           & 0       & 0             & \cdots & 0       & \lambda \\\end{pmatrix},

при этом каждый блок J_\lambda называется жордановой клеткой с собственным значением \lambda (собственные значения в различных блоках, вообще говоря, могут совпадать).

Согласно теореме о жордановой нормальной форме, для произвольной квадратной матрицы A над алгебраически замкнутым полем \Bbb K (например, полем комплексных чисел \Bbb K = \Bbb C) существует квадратная невырожденная (то есть обратимая, с отличным от нуля определителем) матрица C над \Bbb K, такая, что

J=C^{-1}A\,C

является жордановой матрицей. При этом J называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы A. В этом случае также говорят, что жорданова матрица J в поле \Bbb K подобна (или сопряжена) данной матрице A. И наоборот, в силу эквивалентного соотношения

A=CJC^{-1}

матрица A подобна в поле \Bbb K матрице J. Нетрудно показать, что введённое таким образом отношения подобия является отношением эквивалентности и разбивает множество всех квадратных матриц заданного порядка над данным полем на непересекающиеся классы эквивалентности. Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над \Bbb K в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Количество жордановых клеток порядка n с собственным значением \lambda в жордановой форме матрицы A можно вычислить по формуле
    c_n(\lambda)=
\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n-1}
-2\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n}
+\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n+1},
где I — единичная матрица того же порядка что и A, символ \operatorname{rank} обозначает ранг матрицы, а \operatorname{rank} (A-\lambda I)^0, по определению, равен порядку A. Вышеприведённая формула следует из равенства
\operatorname{rank}(A-\lambda I) = \operatorname{rank}(J-\lambda I).

История[править | править вики-текст]

Такая форма матрицы рассматривалась одним из первых Жорданом.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Над полем вещественных чисел собственные значения матрицы (то есть корни характеристического многочлена) могут быть как вещественными, так и комплексными, причем комплексные собственные значения, если они есть, присутствуют парами вместе со своими комплексно сопряжёнными: \lambda_{1,2} = \alpha \pm i \beta, где \alpha и \beta — вещественные числа, \beta \neq 0. В вещественном пространстве такой паре комплексных собственных значений отвечает блок J_{\lambda_{1,2}}, и к указанному выше виду жордановых матриц добавляются матрицы, содержащие также блоки вида J_{\lambda_{1,2}}, отвечающие парам комплексных собственных значений:[1][2]
J_{\lambda_{1,2}}= \left( \begin{array}{ccccccccccc}
\alpha      & \beta   & 1          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
-\beta      & \alpha  & 0          & 1             & 0            & 0           & \cdots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
0           & 0       & \alpha     & \beta         & 1            & 0           & \cdots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
0           & 0       & -\beta     & \alpha        & 0            & 1           & \ddots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & \alpha  & \beta   & 1       & 0\\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & -\beta  & \alpha  & 0       & 1\\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & 0 & 0       & \alpha  & \beta\\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & 0 & 0       & -\beta  & \alpha\\
\end{array}\right).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  2. Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матричный анализ. — М.: Мир, 1989 (ISBN 5-03-001042-4).

Литература[править | править вики-текст]