Жорданова матрица

Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем $k$, с блоками вида

$J_\lambda=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \\\end{pmatrix}$

блок $J_\lambda$ называется жордановой клеткой с собственным значением $\lambda$.

Для произвольной квадратной матрицы $A$ над алгебраически замкнутым полем $k$ всегда существует такая квадратная невырожденная матрица $C$ над $k$, что $J=C^{-1}AC$ является жордановой матрицей (иначе говоря, $A$ сопряжена в $k$ некоторой жордановой матрице).

Матрица $J=C^{-1}AC$, указанная выше, называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы $A$.

Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над $k$ в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы. К их рассмотрению прибегают, например, когда основное поле не содержит всех корней минимального многочлена матрицы.

В вещественном пространстве инвариантные подпространства минимальной размерности могут быть одно или двумерными, соответственно к обычному виду жордановых матриц добавляются матрицы вида:

$J_\lambda= \left( \begin{array}{ccccccccccc} \alpha & \beta & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ -\beta & \alpha & 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \alpha & \beta & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\beta & \alpha & 0 & 1 & \ddots & 0 & 0 & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \alpha & \beta & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\beta & \alpha & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \alpha & \beta\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -\beta & \alpha\\ \end{array}\right)$

Свойства

• Количество жордановых клеток порядка $n$ с собственным значением $\lambda$ в жордановой форме матрицы $A$ можно вычислить по формуле

  $c_n(\lambda)= \operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n-1} -2\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n} +\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n+1}$

где $I$ — единичная матрица того же порядка что и $A$, $\operatorname{rank} B$ — ранг матрицы $B$, а $\operatorname{rank} (A-\lambda I)^0$, по определению, равен порядку $A$.

• Вышеприведённая формула следует из равенства

$\operatorname{rank}(A-\lambda I) = \operatorname{rank}(J-\lambda I)$

• В случае если поле $k$ не является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица $A$ была подобна над $k$ некоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле $k$ содержало все корни характеристического многочлена матрицы $A$.
• У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.
• Является матрицей линейного оператора в каноническом базисе.
• Жордановы формы двух подобных матриц совпадают с точностью до порядка клеток.

История

Такая форма матрицы рассматривалась одним из первых Жорданом.

Литература

• Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Ким, Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
• В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. «Жорданова форма матрицы оператора» //180Кб 10.03.2009//