Жёсткость (геометрия)

Жёсткость — свойство подмногообразия $M$ в евклидовом пространстве (или, более обще, в пространстве постоянной кривизны), заключающееся в том, что любая его изометрическая вариация (бесконечно малое изгибание) является тривиальной, то есть соответствующее её поле скоростей на $M$ индуцируется полем Киллинга на $M$. Вопрос о жёсткости подмногообразий — по существу вопрос о единственности решения системы дифференциальных уравнений, являющихся линеаризацией системы уравнений для изометричных изгибаний подмногообразия. В частности, если подмногообразие допускает нетривиальное изометрическое изгибание, то оно не является жёстким.

Примеры

• Замкнутая строго выпуклая поверхность — жёсткая.
• Тор — жёсткий.
• Кусок плоскости с закрепленным краем — нежёсткий.
• Сферический сегмент $S$, скользящий краем по плоскости, будет жёстким или нет в зависимости от того, меньше или больше $S$ полусферы.
• Метрическое произведение $k$ двумерных сфер $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ является жёстким в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{3k}$ и нежёстким в $\mathbb {R} ^{3k+1}$.

Вариации

Понятие жёсткости переносится также на многогранники, см. теорема Коши о многогранниках.