Зависящий от параметра интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интеграл, зависящий от параметра — математическое выражение, содержащее определённый интеграл и зависящее от одной или нескольких переменных («параметров»).

Зависящий от параметра собственный интеграл[править | править вики-текст]

Пусть в двумерном евклидовом пространстве задана область \overline{G}=\left\{\left (x,y\right )|a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \right\}, на которой определена функция ~f(x,y) двух переменных.

Пусть далее, \forall y\in \left[c;d\right]\, \exists I\left(y\right)=\int\limits_a^b f\left(x,y\right )\, dx.

Функция ~I(y) и называется интегралом, зависящим от параметра.

Свойства интеграла, зависящего от параметра[править | править вики-текст]

Непрерывность[править | править вики-текст]

Пусть функция ~f(x,y) непрерывна в области \overline{G} как функция двух переменных. Тогда функция I\left(y\right)=\int\limits_a^b f\left(x,y\right )\, dx непрерывна на отрезке ~[c;d].

Дифференцирование под знаком интеграла[править | править вики-текст]

Пусть теперь на области \overline{G} непрерывна не только функция ~f(x,y), но и её частная производная \frac {\partial f} {\partial y} \left (x,y\right ).

Тогда \frac {d} {dy} I(y) = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx, или, что то же самое, \frac {d} {dy} \int\limits_a^b f(x,y)\,dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx

Интегрирование под знаком интеграла[править | править вики-текст]

Если функция ~f(x,y) непрерывна в области \overline{G}, то

\int\limits_c^d I(y)\,dy = \int\limits_a^b \left (\int\limits_c^d f(x,y)\, dy \right )\, dx, или, что то же самое:

\int\limits_c^d \left (\int\limits_a^b f(x,y) \, dx \right )\, dy = \int\limits_a^b \left(\int\limits_c^d f(x,y)\, dy\right )\,dx