Задача Аполлония

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Задача Аполлония — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но была восстановлена в 1600 г. Франсуа Виетом, «галльским Аполлонием», как его называли современники.

Восемь различных решений задачи Аполлония

Задача решается с помощью применения двух операций: инверсии и перехода к концентрическим окружностям.

Примечание[править | править исходный текст]

В своем сочинении «Касания» Аполлоний имел в виду три окружности контактной геометрии, то есть окружности с радиусом от 0 (точка) до бесконечности (прямая). Таким образом, для задачи Аполлония существует 10 глобальных случаев:

  1. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех точек.
    Решение: Соединим эти точки. Проведем к получившимся отрезкам серединные перпендикуляры. Они пересекутся в одной точке. Эта точка — центр искомой окружности.
  2. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух точек (далее Α и Β) и прямой (далее а). Сначала проведем прямую ΑΒ.
    Решение:
    1. Если АВ не параллельна а, то найдем их пересечение С. Построим среднее геометрическое отрезков ΑС и ΒС. Отложим равный ему отрезок СΚ на прямой а. Окружность, описанная около ΔΑΒΚ — искомая.
    2. Если ΑΒ||а, то проведем серединный перпендикуляр к отрезку ΑΒ и отметим точку Κ его пересечения с прямой a. Окружность, описанная около ΔΑΒΚ — искомая.
  3. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки и двух прямых.
    Решение:
    1. Если прямые не параллельны, то возьмем точку их пересечения. Назовем угол между этими прямыми α. Соединим точку пересечения прямых с заданой точкой Μ. Назовем получившийся отрезок а. Впишем в угол α произвольную окружность, которая пересечет а, и отметим её центр Ο и точку пересечения с а (каждая даст свое решение) Α. Проведем прямую ΑΟ. Проведем параллельную ей прямую через Μ и биссектрису угла α. Их пересечение будет центром искомой окружности.
    2. Если прямые параллельны, построим прямую ΑΒ (Α и Β — точки пересечения с задаными прямыми), перпендикулярную им. Проведем к отрезку ΑΒ серединный перпендикуляр b. Проведем окружность с центром в заданой точке и радиусом, равным половине ΑΒ. Её пересечение с b будет центром искомой окружности.
  4. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех прямых.
    Решение:
    1. Если среди них нет параллельных, то отметим точки их пересечения Α, Β и С. Окружность, вписанная в ΔΑΒС — искомая.
    2. Если только 2 прямые параллельны, то 2 точки пересечения биссектрис углов, образованных параллельными прямыми и третьей прямой будут центрами двух искомых окружностей.
    3. Если все три прямые параллельны друг другу, то окружности не существует.
  5. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух точек (далее Α и Β) и окружности (далее ω).
    1. Если А и В не лежат на ω, то проведем окружность Ω, содержащую точки А и В и имеющую с ω общие точки. Проведем радикальную ось Ω и ω и пересечем её с АВ. Проведем из точки их пересечения касательную к ω и отметим точку касания Κ. Опишем окружность около ΔΑΒΚ. Она — искомая. Каждая касательная даст свое решение.
    2. Если только А лежит на ω, то проведём касательную к ω в точке А и построим точку В', симметричную В относительно А. Далее проведём окружность через А, В и точку, симметричную В' относительно проведённой касательной. Она будет искомой. Если В лежит на касательной, то такой окружности не существует. Если ВА перпендикулярен касательной, то искомая окружность — окружность с диаметром АВ.
    3. Если А и В лежат на ω, ω — искомая.
  6. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки и двух окружностей.
  7. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух прямых и окружности.
  8. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся прямой и двух окружностей.
  9. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки, прямой и окружности.
  10. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех окружностей.

Литература[править | править исходный текст]