Задача Бертрана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Задача Бертрана — задача, обратная к задаче двух тел и состоящая в определении силы взаимодействия по известным свойствам траекторий движения.

Первая задача Бертрана[править | править вики-текст]

Ньютон показал, что его закон всемирного притяжения и его механика приводят к эмпирическим законом Кеплера, но оставил открытым вопрос о том, существуют ли другие взаимодействия, ведущие к законам Кеплера, обозначив его в своих Математических Началах. Ситуация изменилась лишь в 1870-х годах, когда Бертран и его коллеги обратились к следующей задаче:

Первая задача Бертрана. Найти закон сил, зависящих только от положения движущейся точки, и заставляющей её описывать конические сечения, каковы бы ни были начальные условия.

Эта задача была успешно решена Дарбу и Альфеном[1] при дополнительном предположении, что сила центральная, а затем удалось отбросить и это условие[2]. Оказалось, что таких взаимодействия два — закон всемирного тяготения и закон Гука. Тем самым вопрос, остававшийся со времён Ньютона, был исчерпывающе решён: для вывода закона всемирного тяготения достаточно было узнать из опыта, что траектории планет — конические сечения и что этот закон — не закон Гука.

Вторая задача Бертрана[править | править вики-текст]

Предположение о центральности силы, впрочем, можно было бы сделать и из общих соображений симметрии задачи.

Вторая задача Бертрана. Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать замкнутую кривую, каковы бы ни были начальные условия, если только скорость меньше некоторого предела, найти закон этой силы.

Ответ короток: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения.

Задача решена самим Бертраном[3]. Наиболее полное решение приведено в заметке Дарбу к механике Депейру[4]

Задача Кенигса[править | править вики-текст]

Кенигс (Koenigs G.) предложил еще более общую задачу:

Задача Кенигса. Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать алгебраическую кривую, каковы бы ни были начальные условия, найти закон этой силы.

Как это ни удивительно, но ответ тот же: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения.

Исчерпывающее решение задачи дано самим Кенигсом[5].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Это решение удалось упростить Полю Аппелю; см. Аппель Механика, Т. 1, п. 232
  2. Despeyrous T. Cours de mecanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886.
  3. Bertrand J. //C.R. T. LXXVII. P. 849—853.
  4. Despeyrous T. Cours de mecanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886. P. 461—466. Эта же задача представлена в виде цикла задач к § 8 гл. 2 кн. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: УРСС, 2000.
  5. Koenigs G. // Bull. de la Societe de France, t. 17, p. 153—155.