Задача Неймана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Зада́ча Не́ймана, вторая краевая задача — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода. По типу области задачи Неймана можно разделить на два типа: внутренние и внешние. Названа в честь Карла Неймана.

Постановка задачи[править | править исходный текст]

Внутренняя задача Неймана ставится следующим образом: в области \Omega найти функцию u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega}), удовлетворяющий следующим условиям:

 \Delta u = 0 в области \Omega
\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_{\partial \Omega}=u_1(\mathbf{x}),\ u_1\in C(\partial \Omega),

где \Delta — оператор Лапласа, \mathbf{n} — внешняя единичная нормаль к границе области \Omega.

На неограниченных областях \Omega (внешняя задача Неймана) в постановке задачи добавляется дополнительное условие ограниченности на бесконечности искомой функции u. Решение внешней задачи Неймана в пространстве размерности n>2 единственно, если на бесконечности функция u \rightarrow 0. В двумерном случае решение может быть найдено с точностью до константы, если выполняется условие (*).

В общем случае второй краевой задачей, называют задачу решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных с заданным поведение производной на границе.

Условие разрешимости[править | править исходный текст]

Из теории потенциала известно, что необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана является выполнение равенства

\int\limits_{\partial \Omega}u_1(\mathbf{x})dS=0, \qquad \qquad (*)

при этом решение внутренней задачи Неймана может быть найдено лишь с точностью до константы.[1]

Физическая интерпретация[править | править исходный текст]

Для различных процессов уравнений вторые краевые, в отличие от первых задаются и интерпретируются по разному, например:

  • Для уравнения теплопроводности задаются в виде \Bigl. -\lambda \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} \Bigr|_{\partial \Omega_2} = u_1(\mathbf{x}), что интерпретируется как тепловой поток на границе области.
  • Для уравнений, получаемых из уравнений Максвелла, например для уравнение относительно вектора \mathbf{E} интерпретируется как магнитное поле на границе. Такие условия называются магнитными краевыми условиями. Для вектора \mathbf{H} интерпретируется как электрическое поле на границе и называются электрическими краевыми условиями. В случае скалярного уравнения задаются как: \Bigl. -\mu^{-1} \frac{\partial E}{\partial \mathbf{n}} \Bigr|_{\partial \Omega_2} = u_1(\mathbf{x}), в векторном случае: \Bigl. \left ( \mu^{-1} \nabla \times \mathbf{E} \right ) \times \mathbf{n} \Bigr|_{\partial \Omega_2} = \mathbf{u_1}(\mathbf{x})[2].

Аналитическое решение[править | править исходный текст]

Аналитическое решение для задачи Неймана можно выразить с помощью функции Грина:

u(\mathbf{x}) = \int_{\partial \Omega} {u_1(\mathbf{x})  G(\mathbf{x},\mathbf{y}) dx},

где G(\mathbf{x},\mathbf{y}) — функция Грина для оператора Лапласа в области \Omega.

Вторые краевые условия в численных методах[править | править исходный текст]

При решении задачи различными численными методам вторые краевые учитываются по разному:

  • В методе конечных разностей производная \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} аппроксимируется специальной разностной схемой, на той же сетке и полученное уравнение добавляется к общей системе
  • В методе конечных элементов вторые краевые учитываются в вариационной постановке и являются добавками в правую часть уравнения: \mathbf{b}_i = \int_{\Omega}{f(\mathbf{x})\varphi_i(\mathbf{x})dx} +  \int_{\partial \Omega_2}{u_1(\mathbf{x})\varphi_i(\mathbf{x})dx}, где f(\mathbf{x}) — правая часть уравнения, \partial \Omega_2 — часть границы, на которых заданы вторые краевые, \varphi_i(\mathbf{x}) i-я базисная функция[2].

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

В.М. Уроев. Уравнения математической физики. — М.: ИФ Яуза, 1998. — ISBN 5-88923-026-3

Примечания[править | править исходный текст]

  1. М. М. Смирнов Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. — Москва: Наука, 1964.
  2. 1 2 Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9