Задача Штурма — Лиувилля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Задача Шту́рма — Лиуви́лля состоит в отыскании нетривиальных (т.е. отличных от тождественного нуля) решений на промежутке (a,\;b) однородного уравнения

\!L[y]+\lambda\rho(x)y(x)=0,

удовлетворяющих однородным граничным условиям

\begin{array}{l}
\alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ 
\alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0; \\ 
\end{array}

и значений параметра \!\lambda, при которых такие удовлетворяющие указанным граничным условиям решения существуют.

Оператор \!L[y] здесь — это действующий на функцию \!y(x) линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

L[y]\equiv\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y(x)

(оператор Штурма — Лиувилля), x — вещественный аргумент.

Функции p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho(x) предполагаются непрерывными на (a,\;b), кроме того функции p(x),\;\rho(x) положительны на (a,\;b).

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения \!\lambda, при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Свойства[править | править исходный текст]

Данная задача обладает рядом свойств:

  • Существует бесконечное счетное множество \{\lambda_n\} собственных значений. Каждому собственному значению однозначно соответствует собственная функция. Собственные функции образуют бесконечную последовательность \{y_n(x)\}. Каждое собственное значение единственно. Нумерация собственных значений осуществляется в порядке возрастания их величины \lambda_1 < \lambda_2 < \ldots.
  • Все собственные значения задачи действительны.
  • Каждому собственному значению соответствует с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция.
  • В случае граничных условий y(a)=y(b)=0 и при выполнении условия q(x)\geqslant 0 все собственные значения краевой задачи положительны \lambda_n>0.
  • Собственные функции y_n(x) образуют на [a,\;b] ортогональную с весом \rho(x) систему \{y_n(x)\}:
\int\limits_a^b y_n(x)y_m(x)\rho(x)\,dx=0,\quad n\neq m.

Литература[править | править исходный текст]