Задача Штурма — Лиувилля

Задача Шту́рма — Лиуви́лля состоит в отыскании нетривиальных (т.е. отличных от тождественного нуля) решений на промежутке $(a,\;b)$ однородного уравнения

$\!L[y]+\lambda\rho(x)y(x)=0,$

удовлетворяющих однородным граничным условиям

$\begin{array}{l} \alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ \alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0; \\ \end{array}$

и значений параметра $\!\lambda$, при которых такие удовлетворяющие указанным граничным условиям решения существуют.

Оператор $\!L[y]$ здесь — это действующий на функцию $\!y(x)$ линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

$L[y]\equiv\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y(x)$

(оператор Штурма — Лиувилля), $x$ — вещественный аргумент.

Функции $p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho(x)$ предполагаются непрерывными на $(a,\;b)$, кроме того функции $p(x),\;\rho(x)$ положительны на $(a,\;b)$.

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения $\!\lambda$, при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Свойства

Данная задача обладает рядом свойств:

• Существует бесконечное счетное множество $\{\lambda_n\}$ собственных значений. Каждому собственному значению однозначно соответствует собственная функция. Собственные функции образуют бесконечную последовательность $\{y_n(x)\}$. Каждое собственное значение единственно. Нумерация собственных значений осуществляется в порядке возрастания их величины $\lambda_1 < \lambda_2 < \ldots$.
• Все собственные значения задачи действительны.
• Каждому собственному значению соответствует с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция.
• В случае граничных условий $y(a)=y(b)=0$ и при выполнении условия $q(x)\geqslant 0$ все собственные значения краевой задачи положительны $\lambda_n>0$.
• Собственные функции $y_n(x)$ образуют на $[a,\;b]$ ортогональную с весом $\rho(x)$ систему $\{y_n(x)\}$:

$\int\limits_a^b y_n(x)y_m(x)\rho(x)\,dx=0,\quad n\neq m.$

• Имеет место Теорема Стеклова.

Литература

• А.М. Ахтямов, В.А. Садовничий, Султанаев Я.Т. Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. - М.: Изд-во Московского университета, 2009.