Задача о клике

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Задача о клике относится к классу NP-полных задач в области теории графов. Впервые она была сформулирована в 1972 году Ричардом Карпом.[1]

Граф с кликой размера 3.

Кликой в неориентированном графе называется подмножество вершин, каждые две из которых соединены ребром графа. Иными словами, это полный подграф первоначального графа. Размер клики определяется как число вершин в ней. Задача о клике существует в двух вариантах: в задаче распознавания (англ.) требуется определить, существует ли в заданном графе G клика размера k, в то время как в вычислительном варианте требуется найти в заданном графе G клику максимального размера.

NP-полнота[править | править вики-текст]

NP-полнота задачи о клике следует из NP-полноты задачи о независимом множестве (вершин). Легко показать, что необходимым и достаточным условием для существования клики размера k является наличие независимого множества размера не менее k в дополнении графа. Это очевидно, поскольку полнота подграфа означает, что его дополнение не содержит ни одного ребра.

Другое доказательство NP-полноты можно найти в книге «Алгоритмы: построение и анализ».[2]

Алгоритмы[править | править вики-текст]

Как и для других NP-полных задач, эффективного алгоритма для поиска клики заданного размера на данный момент не найдено. Полный перебор всех возможных подграфов размера k с проверкой того, является ли хотя бы один из них полным, — неэффективен, поскольку полное число таких подграфов в графе с v вершинами равно биномиальному коэффициенту {v \choose k} = \frac{v!}{k!(v-k)!}.

Другой алгоритм работает так: две клики размера n и m «склеиваются» в большую клику размера n+m, причём кликой размера 1 полагается отдельная вершина графа. Алгоритм завершается, как только ни одного слияния больше произвести нельзя. Время работы данного алгоритма линейно, однако он является эвристическим, поскольку не всегда приводит к нахождению клики максимального размера. В качестве примера неудачного завершения можно привести случай, когда вершины, принадлежащие максимальной клике, оказываются разделены и находятся в кликах меньшего размера, причём последние уже не могут быть «склеены» между собой.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Karp, Richard (1972). "Reducibility Among Combinatorial Problems". Proceedings of a Symposium on the Complexity of Computer Computations, Plenum Press. 
  2. Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2005. — 1296 с. — ISBN 5-8459-0857-4.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]