Задачи тысячелетия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Римана
Квантовая теория
Янга — Миллса
Существование и гладкость 
решений уравнений
Навье — Стокса
Гипотеза
Бёрча — Свиннертон-Дайера

Задачи тысячелетия (Millennium Prize Problems) составляют семь математических проблем, охарактеризованных как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет». За решение каждой из этих проблем институтом Клэя предложен приз в 1 000 000 долларов США. Анонсируя приз, институт Клэя провёл параллель со списком проблем Гильберта, представленным в 1900 году и оказавшим существенное влияние на математику XX века. Из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия.

По состоянию на 2014 год только одна из семи проблем тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена (Филдсовская премия за её решение была присуждена Григорию Перельману[1], который отказался от неё[2]).

Список проблем[править | править вики-текст]

Равенство классов P и NP[править | править вики-текст]

Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро (за полиномиальное время) проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи первого типа относятся к классу NP, второго — классу P. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов.

Гипотеза Ходжа[править | править вики-текст]

Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы когомологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями.

Гипотеза Пуанкаре (доказана)[править | править вики-текст]

Считается наиболее известной проблемой топологии. Говоря более просто, она утверждает, что всякий трёхмерный «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации.

Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена российскому математику Г. Я. Перельману,[1] опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы Пуанкаре.

Гипотеза Римана[править | править вики-текст]

Гипотеза гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно, в области распределения простых чисел. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана, учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы, или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачен небольшой приз).[3][4]

Теория Янга — Миллса[править | править вики-текст]

Задача из области физики элементарных частиц. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы G квантовая теория Янга — Миллса для пространства R^4 существует и имеет ненулевой дефект массы. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса[править | править вики-текст]

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой жидкости. Одна из важнейших задач гидродинамики.

10 января 2014 года казахстанский математик, д-р физ.-мат. наук Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждает, что дал полное решение проблемы[5], однако позже признал, что доказательство содержит ошибки.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера[править | править вики-текст]

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman (англ.). Пресс-релиз математического института Клэя.
  2. http://www.gazeta.ru/science/2010/03/23_a_3341933.shtml «Посчитал и отказался». Российский математик Григорий Перельман отказался от премии в $1 млн за решение одной из математических задач тысячелетия.
  3. Weisstein, Eric W. Riemann Hypothesis (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Rules for the Millennium Prizes
  5. Мухтарбай Отелбаев Существование сильного решения уравнения Навье - Стокса (рус.) // Математический журнал. — 2013. — Т. 13. — № 4 (50). — С. 5—104. — ISSN 1682-0525.: В работе дано решение шестой проблемы тысячелетия: доказаны существование и единственность сильного решения трёхмерной задачи Навье — Стокса с периодическими краевыми условиями по пространственным переменным

Ссылки[править | править вики-текст]