Законы Ньютона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск
Классическая механика
История…
Просмотр • Обсуждение • Править

Зако́ны Нью́тона — законы классической механики, позволяющие записать уравнения движения для любой механической системы.

Содержание

[править] Первый закон Ньютона

Существуют такие системы отсчета, относительно которых материальная точка сохраняет свою скорость постоянной, если на неё не действуют никакие тела и поля (или их действие взаимно скомпенсировано).

По сути, этот закон постулирует инерцию тел, то есть их свойство сопротивляться изменению их текущего состояния.

Интересно, что оригинальная формулировка ничего не говорит о системах отсчёта.

[править] Второй закон Ньютона

Основная статья: Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как мерило проявления инерции материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

Второй закон Ньютона утверждает, что

В инерциальной системе отсчета ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально приложенной к ней силе и обратно пропорционально её массе.


При подходящем выборе единиц измерения, этот закон можно записать в виде формулы:

\vec a = \frac {\vec {F}} {m} ,

где \vec a  — ускорение материальной точки;
\vec {F}  — сила, приложенная к материальной точке;
m — масса материальной точки.

Или в более известном виде:

\vec {F} = m \vec a .

В случае, когда масса материальной точки меняется со временем, второй закон Ньютона формулируется с использованием понятия импульс:

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силе.

\tfrac{d \vec p}{dt} = \vec{F},


где \vec p — импульс точки,

\vec p = m\vec v,
где \vec v — скорость точки;

t — время;
\tfrac{d \vec p}{dt} — производная импульса по времени.

Когда на тело действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции второй закон Ньютона записывается:

\sum_{i=1}^{n} {\vec{F_i}} = m \vec a

или

t \cdot \sum_{i=1}^{n} {\vec{F_i}} = \Delta\vec p,

Второй закон Ньютона действителен только для скоростей, много меньших скорости света и в инерциальных системах отсчёта. Для скоростей, приближенных к скорости света, используются законы теории относительности.

Нельзя рассматривать частный случай (при \vec {F} = 0 ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

[править] Третий закон Ньютона

Этот закон объясняет, что происходит с двумя взаимодействующими телами. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух тел. Первое тело может действовать на второе с некоторой силой \vec{F}_{1 \to 2}, а второе — на первое с силой \vec{F}_{2 \to 1}. Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия. Подчеркнём, что эти силы приложены к разным телам, а потому вовсе не компенсируются.

Сам закон:

Тела действуют друг на друга с силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль одной и той же прямой, равными по модулю и противоположными по направлению:

\vec{F}_{2 \to 1} = -\vec{F}_{1 \to 2}.


[править] Выводы

Из законов Ньютона сразу же следуют некоторые интересные выводы. Так, третий закон Ньютона говорит, что, как бы тела ни взаимодействовали, они не могут изменить свой суммарный импульс: возникает закон сохранения импульса. Далее, надо потребовать, чтобы потенциал взаимодействия двух тел зависел только от модуля разности координат этих тел U( | r1 − r2 | ). Тогда возникает закон сохранения суммарной механической энергии взаимодействующих тел:

{m {v}_1^2 \over 2} + {m {v}_2^2 \over 2} + U(|{r}_1 - {r}_2|) = \operatorname{const}.

Законы Ньютона являются основными законами механики. Из них могут быть выведены все остальные законы механики.

[править] Комментарии к законам Ньютона

[править] Сила инерции

Законы Ньютона, строго говоря, справедливы только в инерциальных системах отсчета. Если мы честно запишем уравнение движения тела в неинерциальной системе отсчета, то оно будет по виду отличаться от второго закона Ньютона. Однако часто, для упрощения рассмотрения, вводят некую фиктивную «силу инерции», и тогда эти уравнения движения переписываются в виде, очень похожем на второй закон Ньютона. Математически здесь всё корректно (правильно), но с точки зрения физики новую фиктивную силу нельзя рассматривать как нечто реальное, как результат некоторого реального взаимодействия. Ещё раз подчеркнём: «сила инерции» — это лишь удобная параметризация того, как отличаются законы движения в инерциальной и неинерциальной системах отсчета.

[править] Законы Ньютона и Лагранжева механика

Законы Ньютона — не самый глубокий уровень формулирования классической механики. В рамках Лагранжевой механики имеется одна-единственная формула (запись механического действия) и один-единственный постулат (тела движутся так, чтобы действие было стационарным), и из этого можно вывести все законы Ньютона. Более того, в рамках Лагранжева формализма можно легко рассмотреть гипотетические ситуации, в которых действие имеет какой-либо другой вид. При этом уравнения движения станут уже непохожими на законы Ньютона, но сама классическая механика будет по-прежнему применима…

[править] Решение уравнений движения

Уравнение \vec {F} = m \vec a является дифференциальным уравнением: ускорение есть вторая производная от координаты по времени. Это значит, что эволюцию механической системы во времени можно однозначно определить, если задать её начальные координаты и начальные скорости.

Заметим, что если бы уравнения, описывающие наш мир, были бы уравнениями первого порядка, то из нашего мира исчезли бы такие явления, как инерция, колебания, волны.

[править] Исторический очерк

Страница «Начал» Ньютона с аксиомами механики

Основные законы механики Ньютон сформулировал в своей книге «Математические начала натуральной философии» в следующем виде.

  1. Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.
  2. Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
  3. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны.

Первый закон (закон инерции), в менее чёткой форме, опубликовал ещё Галилей. Надо отметить, что Галилей допускал свободное движение не только по прямой, но и по окружности (видимо, из астрономических соображений). Галилей также сформулировал важнейший принцип относительности, который Ньютон не включил в свою аксиоматику, потому что для механических процессов этот принцип является прямым следствием уравнений динамики. Кроме того, Ньютон считал пространство и время абсолютными понятиями, едиными для всей Вселенной, и явно указал на это в своих «Началах».

Ньютон также дал строгие определения таких физических понятий, как количество движения (не вполне ясно использованное у Декарта) и сила. Он ввёл в физику понятие массы как меры инерции и, одновременно, гравитационных свойств (ранее физики пользовались понятием вес).

Завершили математизацию механики Эйлер и Лагранж.

[править] См. также

[править] Литература

Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%8B_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0»