Закон Кюри

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Закон Кюрифизический закон, описывает магнитную восприимчивость парамагнетиков, которая при постоянной температуре для этого вида материалов приблизительно прямо пропорциональна приложенному магнитному полю. Закон Кюри постулирует, что при изменении температуры и постоянном внешнем поле, степень намагниченности парамагнетиков обратно пропорциональна температуре:

M = C \cdot \frac{B}{T},

где в единицах Международной системе единиц (СИ): M — получаемая намагниченность материала; Bмагнитное поле, измеренное в Теслах; T — абсолютная температура в Кельвинах; Cпостоянная Кюри данного материала. Это соотношение, полученное экспериментально П. Кюри, выполняется только при высоких температурах или слабых магнитных полях. В обратном случае — то есть при низких температурах или при сильных полях — намагниченность не подчиняется этому закону.

Вывод закона с использованием квантовой статистической механики[править | править исходный текст]

Магнитная восприимчивость парамагнетика как функция температуры.

Простые модели парамагнетиков основываются на предположении, что эти материалы состоят из частей или областей (парамагнетонов), которые не взаимодействуют друг с другом. Каждая область имеет собственный магнитный момент, который можно обозначить векторной величиной \vec{\mu}. Энергия момента магнитного поля может быть записана следующим образом:

E=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}

Области с двумя состояниями (спин-1/2)[править | править исходный текст]

Для того, чтобы упростить вывод, предположим, что каждая из областей рассматриваемого парамагнетика имеет два состояния момента, направление которого может совпадать с направлением магнитного поля или быть направленным в противоположную сторону. В данном случае возможны только два значения магнитного момента \mu, -\mu и два значения энергии: E_0 = - \mu B и E_1 = \mu B. При поиске магнитной восприимчивости парамагнетика определяется вероятность для каждой области оказаться в состоянии, сонаправленном магнитному полю. Другими словами, определяется математическое ожидание намагниченности материала \mu:

\left\langle\mu\right\rangle =  \mu P\left(\mu\right) + (-\mu) P\left(-\mu\right) 
 = {1 \over Z} \left( \mu e^{ \mu B\beta} -  \mu e^{  - \mu B\beta} \right)
 = {2\mu \over Z} \sinh( \mu B\beta),

где вероятность системы описывается распределением Больцмана, статистическая сумма Z обеспечивает нормализацию вероятностей. Нормирующая функция для одной области может быть представлена следующим образом:

Z = \sum_{n=0,1} e^{-E_n\beta} = e^{ \mu B\beta} + e^{-\mu B\beta} = 2 \cosh\left(\mu B\beta\right)

Таким образом, в двухспиновой модели мы имеем:

\left\langle\mu\right\rangle  = \mu \tanh\left(\mu B\beta\right)

Используя полученное выражение для одной области, получаем магнитную восприимчивость всего материала:

M = N\left\langle\mu\right\rangle = N \mu \tanh\left({\mu B\over k T}\right)

Выведенная выше формула носит название уравнения Ланжевена для парамагнетиков. П. Кюри в ходе экспериментов обнаружил приближение к этому закону, которое выполнялось при высоких температурах и слабых магнитных полях. Предположим, что абсолютное значение температуры T велико, а B мало. В данном случае, иногда называемом режимом Кюри, величина аргумента гиперболического тангенса мала:

\left({\mu B\over k T}\right) \ll 1

И так как известно, что в случае |x| \ll 1 выполняется соотношение:

\tanh x \approx x,

получаем результат:

\mathbf{M}(T\rightarrow\infty)={N\mu^2\over k}{\mathbf{B}\over T},

где константа Кюри равна C= N\mu^2/k. Также следует отметить, что в противоположном случае низких температур и сильных полей, M и N\mu имеют тенденцию принимать максимальные значения, что соответствует случаю, когда все области имеют магнитный момент, совпадающий по направлению с магнитным полем.

Общий случай[править | править исходный текст]

В общем случае произвольного распределения направлений магнитных моментов формула становится несколько более сложной (см. англ. Brillouin function). Как только значение спина приближается к бесконечности, формула для магнитной восприимчивости принимает классический вид.

Получение с помощью классической статистической механики[править | править исходный текст]

Альтернативный подход предполагает, что парамагнетоны представляют из себя области со свободно вращающимися магнитными моментами. В данном случае их положение определяется углами в сферических координатах, а энергия одной области представляется в виде:

E =  - \mu B\cos\theta,

где \theta — угол между направлением магнитного момента и направлением магнитного поля, которое, предположим, направлено вдоль координаты z. Соответствующая функция для одной области будет иметь вид:

Z = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta).

Как видно, в данном случае нет явной зависимости от угла \phi, и мы также можем осуществить замену переменной y=\cos\theta, что позволяет получить:

Z = 2\pi  \int_{-1}^ 1 d y \exp( \mu B\beta y) =
2\pi{\exp( \mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }=
{4\pi\sinh( \mu B\beta ) \over  \mu B\beta .}

Математическое ожидание компоненты z будет соответствовать степени намагниченности, а остальные две обратятся в нуль после интегрирования по \phi:

\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta) \left[\mu\cos\theta\right] .

Для упрощения вычислений, запишем выражение в дифференциальной форме по переменной Z:

\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z B} \partial_\beta Z,

что дает:

\left\langle\mu_z\right\rangle = \mu L(\mu B\beta),

где L носит название функции Ланжевена (см. Ланжевен):

 L(x)= \coth x -{1 \over x}.

Эта функция имеет сингулярность (разрыв) для маленьких значений x, но на самом деле нет, так как две сингулярные компоненты с противоположным знаком сохраняют непрерывность функции. На самом деле, её поведение при небольших значениях аргумента L(x) \approx x/3, что сохраняет действие закона Кюри, но с втрое ме́ньшим постоянным множителем-константой Кюри. В случае предела с больши́м значением аргумента применение этой функции также возможно.

Применения[править | править исходный текст]

Сохранение закона Кюри для парамагнетиков в слабом магнитном поле позволяет их использование в качестве магнитных термометров.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]