Закон Рэлея — Джинса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Закон Рэлея — Джинса — закон излучения Рэлея — Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела u(\omega , T) и для испускательной способности абсолютно чёрного тела f(\omega , T) который получили Рэлей и Джинс, в рамках классической статистики (теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы и представление об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе).[1][2][3]

Правильно описывал низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводил к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату (см. ниже), означавшему неудовлетворительность классической физики.

Вывод формулы[править | править вики-текст]

Зависимость испускательной способности абсолютно чёрного тела от длины волны для разных температур (выделены цветом) и её вид, исходя из классических рассуждений Релея и Джинса (черный цвет)

Основываясь на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей kT. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую  — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:


        \mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{2 \pi^2 v^3}  \qquad\qquad (1)
.

В нашем случае скорость v следует положить равной c, более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда (1) вдобавок следует помножить на два:


        \mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{\pi^2 c^3}  \qquad\qquad (2)
.

Рэлей и Джинс каждому колебанию приписали энергию \overline {\varepsilon}=kT. Помножив (2) на \overline {\varepsilon},получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот  \mathrm{d} \omega :


        u(\omega,T) \mathrm{d} \omega = \overline {\varepsilon} \mathrm{d}n_{\omega}=
        kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3} \mathrm{d} \omega
,

тогда:


        u(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3} \qquad\qquad (3)
.

Зная связь испускательной способности абсолютно чёрного тела f(\omega,T) с равновесной плотностью энергии теплового излучения f(\omega,T)= \frac{c}{4} u(\omega,T), для f(\omega,T) находим:


        f(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{4 \pi^2 c^2} \qquad\qquad (4)

Выражения (3) и (4), называют формулой Рэлея — Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа[править | править вики-текст]

Формулы (3) и (4) удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того, интегрирование (3) по \omega в пределах от 0 до \infty для равновесной плотности энергии u(T) дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях u(T). Однако ошибки в выводе формулы Релея-Джинса с классической точки зрения  — нет[источник не указан 984 дня]. Очевидно несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции u(\omega , T), соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемую формулой Планка.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Strutt JW (Rayleigh) (1900). «Remarks upon the law of complete radiation». Phil. Mag. 49: 539-540.
  2. Jeans JH (1905). «On the laws of radiation» (pdf). Proc. R. Soc. Lond. A 76: 545-552. DOI:10.1098/rspa.1905.0060.
  3. Говард Д. (1966). «Джон Уильям Стрэтт (Лорд Рэлей)» (pdf). УФН 88 (1): 149-160.