Формула Торричелли (гидродинамика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Закон Торричелли»)
Перейти к: навигация, поиск

Фо́рмула Торриче́лли – связывает скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом сосуде с высотой жидкости над отверстием[1].

TorricelliLaw.svg

Формула Торричелли утверждает, что скорость v истечения жидкости через отверстие в тонкой стенке, находящееся в ёмкости на глубине h от поверхности, такая же, как и у тела, свободно падающего с высоты h[2], то есть

v = \sqrt{2gh},

где gускорение свободного падения.

Последнее выражение получено в результате приравнивания приобретённой кинетической энергии \frac{1}{2}mv^2 и потерянной потенциальной энергии mgh.

Эта формула была получена в словесной форме итальянским учёным Эванджелиста Торричелли, в 1643 году и опубликована в его сочинении Opera geometrica, вышедшем в 1644 году, в разделе De motu aquarum[2]. Позже было показано, что эта формула является следствием закона Бернулли.

Вывод[править | править вики-текст]

Закон Бернулли утверждает, что:

{v^2 \over 2}+gz+{p\over\rho}=\text{const},

где v – это скорость жидкости, z – высота жидкости над точкой, для которой записывается уравнение Бернулли, p – давление, ρ – плотность жидкости.

Пусть отверстие находится на высоте z=0. У поверхности жидкости в резервуаре, давление p равно атмосферному. Скорость жидкости v в верхней части резервуара можно считать равной нулю, так как уровень поверхности жидкости понижается очень медленно по сравнению со скоростью истечения жидкости через отверстие. На выходе из отверстия z=0 и p также равно атмосферному давлению. Приравнивая левые части уравнения Бернулли, записанные для поверхности жидкости в резервуаре и для жидкости на выходе из отверстия, получим:

gz+{p_{atm}\over\rho}={v^2 \over 2}+{p_{atm}\over\rho}
\Rightarrow v^2=2gz\,
\Rightarrow v=\sqrt{2gz}

z равно высоте h, и таким образом:

v=\sqrt{2gh}.

Литература[править | править вики-текст]

  • T. E. Faber Fluid Dynamics for Physicists. — Cambridge University Press, 1995. — ISBN 0-521-42969-2.
  • Stanley Middleman, An Introduction to Fluid Dynamics: Principles of Analysis and Design (John Wiley & Sons, 1997) ISBN 978-0-471-18209-2
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations (2005)

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Торричелли формула. Статьи в Физической энциклопедии и Физическом энциклопедическом словаре.
  2. 1 2 См. Evangelista Torricelli De motu aquarum // Opera Geometrica. — 1644. — P. 191. Формула Торричелли там выражена утверждением на латинском языке: "Aquas violenter erumpentes in ipso eruptionis puncto eundem impetum habere, quem haberet grave aliquod, sive ipsius aquae gutta una, si ex suprema eiusdem aquae superficie usque ad orificium eruptiones naturaliter cecidisset".