Закон дисперсии

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Разложение пучка света в спектр при прохождении стеклянной призмы вследствие явления дисперсии света в стекле — нелинейности закона дисперсии для света в среде.

Зако́н диспе́рсии или дисперсионное уравнение (соотношение) в теории волн — это связь частоты и волнового вектора волны:


\omega = \omega(\mathbf k)\,.

Этот закон выражает связь временной и пространственной периодичности волны. Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:


\mathbf{v}_{ph} = {\omega\over k}\cdot {\mathbf{k}\over k}\,;\quad
\mathbf{v}_{gr} = {d\omega\over d\mathbf{k}}\,.

Дисперсией (впервые понятие появилось в оптике в связи с явлением разложения луча белого света в спектр при пропускании его через призму) называют зависимость фазовой скорости волн (того или иного типа; первоначально применялось к свету) от частоты или длины волны (если такая скорость не зависит от них, говорят об отсутствии дисперсии), или, иначе говоря, в применении к оптике, различие коэффициента преломления определенной среды (например, стекла призмы), от частоты или длины волны света. Таким образом, именно нелинейный[1] закон дисперсии для света в стекле приводит к классическому явлению дисперсии.

В связи с тем, что, согласно квантовым представлениям, каждой волне соответствует некоторая частица или квазичастица и наоборот, закон дисперсии можно также записывать и для частиц. В частности, в физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией частицы (например, электрона, фонона) и его волновым вектором.

Вывод для цепочки[править | править вики-текст]

Пусть дана одномерная линейная цепочка атомов массой m, расстояние между ними d. Сместим энный атом на малое расстояние u_n. Тогда из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.

Обозначения:

k — волновое число;
\omega — частота;

С учётом ближайших соседей

F_n = - \beta (u_n-u_{n+1}) - \beta (u_n - u_{n-1}) = \beta (u_{n+1} - 2 u_n + u_{n-1}),
где
\beta — коэффициент квазиупругой силы.

Запишем уравнение движения для энного атома:

ma = F \Leftrightarrow m \cfrac {d^2 u_n} {dt^2} = \beta (u_{n+1} - 2 u_n + u_{n-1}) .

Пусть решение имеет вид A e^{i(kd - \omega t)} .

Тогда

-m\omega^2 = \beta (e^{ikd} + e^{-ikd} -2) = - 2 \beta (1 - \cos dk) = - 4 \beta \sin^2 (kd/2) \Leftarrow \omega = \pm \omega_m sin {kd/2},
где
\omega_m = 2 \sqrt{\cfrac {\beta} {m}} .

Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии для одноатомной цепочки.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. При линейном законе, а точнее — при прямой пропорциональности ω и k, ω/k было бы постоянным, то есть дисперсия бы отсутствовала; такое реализуется в случае вакуума.

Литература[править | править вики-текст]

Стефан А. Тау (1977), Линейные волны в средах с дисперсией, В кн: Нелинейные волны. М.: Мир.