Закон квадрата — куба

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Закон квадрата — куба представляет собой принцип, применяемый в технике и биомеханике, и базируется на математическом пересчёте размеров. Он был впервые продемонстрирован в 1638 г. Галилео Галилеем в Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienzeБеседы и математические доказательства двух новых наук»), 1638. Он гласит:

Когда объект подвергается пропорциональному увеличению размеров, его новый объём будет пропорционален кубу множителя, а новая площадь его поверхности пропорциональна квадрату множителя.

v_2=v_1\left(\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^3

где v_1 — объём исходного объекта, v_2 — новый объём, \ell_1- линейный размер исходного объекта, а \ell_2 — новый линейный размер. Заметьте, что не имеет значения, какой линейный размер используется.

A_2=A_1\left(\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^2

где A_1 — площадь поверхности исходного объекта, а A_2 — новая площадь поверхности.

Например, куб с длиной стороны 1 метр имеет площадь поверхности 6 м² и объём 1 м³. Если длину стороны удвоить, площадь его поверхности увеличится в четыре раза — до 24 м², а его объём увеличится в восемь раз — до 8 м³. Этот принцип применим ко всем телам.


Техника[править | править исходный текст]

Если физический объект увеличить в размерах при сохранении неизменной плотности материала, из которого он изготовлен, его масса увеличится пропорционально произведению массы и коэффициента увеличения в третьей степени, в то время как площадь его поверхности — только в квадрате масштабного множителя. Это должно означать, что в том случае, если увеличенному в размерах объекту сообщить то же ускорение, что и оригиналу, на поверхность увеличившегося объекта будет действовать большее давление

Давайте рассмотрим простой пример — тело массой M имеет ускорение a и площадь поверхности A, на которую действует ускоряющая сила.

Сила, вызванная ускорением: F = M*a, а давление на поверхность T = F/A = M*a/A

Теперь рассмотрим объект, размеры которого умножены на коэффициент x так, чтобы его новая масса M' = x^3*M, а поверхность, на которую действует сила, имеет новую площадь, A' = x^2*A.

Новая сила, вызванная ускорением F' = x^3*M*a и результирующее давление на поверхность

                          T' = F'/A'
                                = x3*M*a/(x2*A)
                                = x*(M*a/A)
                                = x*T

Таким образом, при простом увеличении размеров объекта с сохранением того же самого материала конструкции (плотности), и при том же самом ускорении, давление, производимое им на поверхность, увеличится во столько же раз. Это показывает, что способность сопротивляться напряжению у объекта снизится и он станет более склонен к разрушению в процессе ускорения.

Это и есть объяснение тому, почему большие транспортные средства плохо выдерживают испытания на разрушения при столкновениях, и почему есть пределы высоты строительства высотных зданий. Аналогично, чем больше размер объекта, тем меньше другие объекты окажут сопротивление движению, вызывая его замедление.

Биомеханика[править | править исходный текст]

Если размеры животного значительно увеличить, его мускульная сила серьёзно уменьшится, так как поперечное сечение его мускулов увеличится пропорционально квадрату коэффициента масштабирования, в то время как его масса увеличится пропорционально кубу коэффициента масштабирования. В результате этого сердечно-сосудистые функции сильно ограничатся. Для летающих животных, если их увеличить в размерах, их нагрузка на крылья должна возрасти, и поэтому им, чтобы сохранять ту же подъемную силу, придется лететь быстрее. Это будет нелегко ввиду того, что сила мускулов станет меньше. Это также объясняет, почему шмель может иметь большой размер тела относительно размаха его крыльев, что невозможно для большего летающего животного. Для животных малых размеров сопротивление воздуха на единицу массы также выше, что объясняет, отчего маленькое насекомое, такое, как муравей, не погибнет, падая с любой высоты.

Кроме того, работа дыхательной системы насекомых зависит от величины поверхности тела. При увеличении объёма тела площадь его поверхности не сможет обеспечивать дыхание.

По этим причинам гигантские насекомые, пауки и другие животные, показываемые в фильмах ужасов, нереальны, поскольку такие крупные размеры вызвали бы их удушье и разрушение. Исключением являются гигантские водные животные (глубоководный гигантизм), поскольку вода способна поддерживать такие огромные существа.

Тепловые процессы[править | править исходный текст]

Закон квадрата — куба применим также и к тепловым процессам. Поверхность теплообмена возрастает пропорционально квадрату размера, а объём, содержащий или генерирующий теплоту — пропорционально кубу. Следовательно, теплопотери в расчёте на единицу объёма объекта уменьшаются при увеличении его размеров и, наоборот, увеличиваются при уменьшении размеров. Поэтому, например, энергия, необходимая для обогрева или охлаждения единицы объёма склада, уменьшается с ростом размеров склада.

В технике[править | править исходный текст]

Закон имеет очень широкое применение в технике. К примеру, он является единственной причиной того, что для создания самолётов вдвое большей грузоподъёмности было бессмысленно (и никогда не применялось) удвоение всех размеров на всех чертежах самолёта — запрет на прямое масштабирование наложен законом квадрата - куба.

Интересным примером непонимания данного закона уже в наше время является история создания двигателя для автомобиля «Запорожец». Данный двигатель был скопирован удвоением всех основных размеров небольшого двухцилиндрового пускового двигателя с немецких бомбардировщиков времен Второй мировой войны.[источник не указан 78 дней] Это безграмотное решение привело к целой лавине негативных эффектов, от несоответствия массы балансиров шатунов требуемой, до большой избыточной толщины стенок цилиндров, впоследствии растачивавшихся любителями до фантастических диаметров.

В живых существах[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Биомеханика

Allometric law (англ.)

On Being the Right Size (англ.)

Ссылки[править | править исходный текст]

Wayne Throop. «Sauropods, Elephants, Weightlifters: Miscellaneous Issues» (англ.).

«World Builders: The Limits to Animal Size — Size to Volume Ratio». (англ.)

Michael C. LaBarbera. «The Biology of B-Movie Monsters»(англ.)