Закон повторного логарифма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Экспериментальная иллюстрация закона повторного логарифма и закона больших чисел. Зелёным обозначены пределы блуждания согласно закону повторного логарифма. Вид графика обусловлен нелинейностью обеих осей.

Закон повторного логарифма — предельный закон теории вероятностей. Теорема определяет порядок роста делителя последовательности сумм случайных величин, при котором эта последовательность не сходится к 0, но остается в конечных пределах почти наверное.

Для случая последовательности сумм независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с двумя значениями теорема была доказана А. Я. Хинчиным в 1924 году[1][2]. Первую теорему общего типа доказал А. Н. Колмогоров в 1929 году[3][4].

Теорема[править | править вики-текст]

Пусть {Y_n} — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Пусть S_n = Y_1 + \dots + Y_n. Тогда почти наверное:

 \limsup_{n \to \infty} \frac{S_n}{\sqrt{n \log\log n}} = \sqrt{2},
 \liminf_{n \to \infty} \frac{S_n}{\sqrt{n \log\log n}} = -\sqrt 2,

где \log — натуральный логарифм, \limsup — верхний предел, \liminfнижний предел.

Обобщения и дополнения[править | править вики-текст]

Обобщения закона повторного логарифма Колмогорова для последовательностей независимых ограниченных неодинаково распределенных случайных величин были исследованы В. Феллером [5]. Обобщение для функциональной сходимости дал Ф. Штрассен [6]. Им же доказано [7], что если  Y_n - последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с бесконечной дисперсией, то

 \limsup_{n \to \infty} \frac{|S_n|}{\sqrt{n \log\log n}} = \infty .

Взаимосвязь с другими предельными теоремами[править | править вики-текст]

Закон повторного логарифма занимает промежуточное положение между законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел существует в двух вариантах — слабом и усиленном, они утверждают, что суммы S_n с делителем n стремятся к нулю, соответственно по вероятности и почти наверное:


    \frac{S_n}{n}\stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} 0, \qquad
    \frac{S_n}{n} \ {\longrightarrow} 0 почти наверное при \ n\to\infty .

Центральная предельная теорема утверждает, что суммы S_n с делителем \sqrt n сходятся к стандартному нормальному распределению, и эта последовательность сумм не сходится к какой-либо конкретной величине ни по вероятности, ни почти наверное, а бесконечно блуждает.

Делитель в законе повторного логарифма приводит к разным результатам для сходимости по вероятности и почти наверное:


   \frac{S_n}{\sqrt{n\log\log n}}\stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} 0 \qquad  и ни к чему не стремится почти наверное при  \ n\to\infty.

Таким образом, хотя величина S_n/\sqrt{n\log\log n} будет меньше чем любое заданное \varepsilon > 0 с вероятностью, стремящейся к единице, она будет бесконечное число раз приближаться сколь угодно близко к любой точке отрезка [-\sqrt 2, \sqrt 2] почти наверное.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Xинчин А. Я., «Fundam. math.», 1924, v. 6, p. 9-20;
  2. Хинчин А. Я. «Основные законы теории вероятностей.»,1932. [1]
  3. Колмогоров А. Н., «Math. Ann.», 1929, Bd 101, S. 126-35;
  4. Повторного логарифма закон — статья из Математической энциклопедии
  5. W. Feller, "The general form of the so-called law of the iterated logarithm" Trans. Amer. Math. Soc. , 54 (1943) pp. 373–402
  6. V. Strassen, "An invariance principle for the law of the iterated logarithm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 3 (1964) pp. 211–226
  7. V. Strassen, "A converse to the law of iterated logarithm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 4 (1965–1966) pp. 265–268