Закон сохранения импульса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Механика сплошных сред
BernoullisLawDerivationDiagram.svg
Сплошная среда
См. также: Портал:Физика

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц) системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, — однородность пространства[1].

Вывод в механике Ньютона[править | править вики-текст]

Согласно второму закону Ньютона для системы из N частиц:

 \frac{d\vec {p}}{dt} =\vec {F} ,

где \vec {p} импульс системы

\vec{p}= \sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n,

а \vec {F} — равнодействующая всех сил, действующих на частицы системы

\vec{F}= \sum_{k=1}^{N} \ \vec{F}^{ext}_{k}+\sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{N} \ \vec{F}_{n,m} , \qquad m\ne n, \qquad\qquad (1)

Здесь \vec{F}_{n,m}=  — равнодействующая сил, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой, а  \vec{F}^{ext}_{k}  — равнодействующая всех внешних сил, действующих k-ю частицу. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида \vec {F}_{n,m} и \vec {F}_{m,n} будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть \vec{F}_{n,m} = -\vec{F}_{m,n}.. Поэтому вторая сумма в правой части выражения (1) будет равна нулю, и получаем, что производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему:

\frac{d\vec {p}}{dt}= \sum_{k=1}^{N} \ \vec{F}^{ext}_{k} \qquad\qquad (2).

Внутренние силы исключаются третьим законом Ньютона.

Для систем из N частиц, в которых сумма всех внешних сил равна нулю

 \sum_{k=1}^{N} \ \vec{F}^{ext}_{k} =0,

или для систем, на частицы которых не действуют внешние силы  \vec{F}^{ext}_{k} =0, (для всех k от 1 до n), имеем

\!\qquad \frac {d}{dt} \sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=0.

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=\overrightarrow {\mathrm{const}} \qquad\! (постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы из N частиц, где N любое целое число, есть величина постоянная. Для N=1 получаем выражение для одной частицы.

Если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, то есть не меняется со временем.


Закон сохранения импульса выполняется не только для систем, на которые не действуют внешние силы, но и для систем, сумма всех внешних сил равна нулю. Равенство нулю всех внешних сил достаточно, но не необходимо для выполнения закона сохранения импульса.

Если проекция суммы внешних сил на какую-либо направление или координатную ось равна нулю, то в этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса на данное направление или координатную ось.

Связь с однородностью пространства[править | править вики-текст]

Симметрия в физике
Преобразование Соответствующая
инвариантность
Соответствующий
закон
сохранения
Трансляции времени Однородность
времени
…энергии
C, P, CP и T-симметрии Изотропность
времени
…чётности
Трансляции пространства Однородность
пространства
…импульса
Вращения пространства Изотропность
пространства
…момента
импульса
Группа Лоренца Относительность
Лоренц-инвариантность
…4-импульса
~ Калибровочное преобразование Калибровочная инвариантность …заряда

Согласно теореме Нётер каждому закону сохранения ставится в соответствие некая симметрия уравнений, описывающих систему. В частности, закон сохранения импульса эквивалентен однородности пространства, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от положения системы в пространстве. Простейший вывод этого утверждения основан на применении лагранжева подхода к описанию системы.

Вывод из формализма Лагранжа[править | править вики-текст]

Рассмотрим функцию Лагранжа свободного тела \mathcal L \equiv \mathcal L(q_i, \dot q_i, t), зависящую от обобщённых координат q_i\,, обобщённых скоростей \dot q_i и времени t. Здесь точка над q обозначает дифференцирование по времени, \dot q_i \equiv \frac{\partial q_i}{\partial t}. Выберем для рассмотрения прямоугольную декартову систему координат, тогда q_i=\vec r_a, \ \dot q_i = \vec v_a для каждой \!a-той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения: \vec r_a \to \vec r_a + \vec{\xi}, где \vec{\xi} \equiv \overrightarrow {\mathrm{const}}. В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом:

\delta \mathcal L = \sum_{a}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \vec r_a} \delta  \vec r_a = \vec{\xi}\ \sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a},

где суммирование идет по всем частицам системы. Так как приращение не влияет на уравнения движения, то вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю: \delta \mathcal L =0. С учётом того, что вектор \vec \xi — произвольный, последнее требование выполняется при:

\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a}=0.

Воспользуемся уравнением Лагранжа \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}=0:

\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a} = \sum_{a}\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} =  \frac{d}{dt}\sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = 0 .

Это означает, что сумма, стоящая под знаком дифференциала, — постоянная величина для рассматриваемой системы. Сама сумма и есть суммарный импульс системы:

\vec P = \sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} =  \overrightarrow {\mathrm{const}}. .

Учитывая, что лагранжиан свободной частицы имеет вид: \mathcal L = \frac{mv^2}{2}, нетрудно видеть, что последнее выражение совпадает с выражением в ньютоновом формализме:

\vec P = \sum_a m_a \vec v_a = \overrightarrow {\mathrm{const}}.

Для релятивистской свободной частицы лагранжиан имеет несколько другую форму: \mathcal L = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, что приводит к релятивистскому определению импульса

\vec P = \sum_a \frac{m_a \vec v_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \overrightarrow {\mathrm{const}}.

В настоящее время не существует каких-либо экспериментальных фактов, свидетельствующих о невыполнении закона сохранения импульса.

Закон сохранения импульса в общей теории относительности[править | править вики-текст]

Аналогично ситуации с законом сохранения энергии, при переходе к искривлённому пространству-времени закон сохранения импульса, выражаемый пространственными компонентами соотношения для тензора энергии-импульса

T^\mu_{\nu;\mu}=0,

где точка с запятой выражает ковариантную производную, приводит лишь к локально сохраняющимся величинам. Это связано с отсутствием глобальной однородности пространства в пространстве-времени общего вида.

Можно придумать такие определения импульса гравитационного поля, что глобальный закон сохранения импульса будет выполняться при движении во времени системы тел и полей, но все такие определения содержат элемент произвола, так как вводимый импульс гравитационного поля не может быть тензорной величиной при произвольных преобразованиях координат.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — 4-е изд., испр. — М.: «Наука», 1988. — Т. I. Механика. — С. 26. — 215 с. — ISBN 5-02-013850-9.

Ссылки[править | править вики-текст]