Замечательные точки треугольника

Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника.

Примеры

Замечательными точками треугольника являются

• Точки пересечения:
  • Медиан — центроид, центр масс;
  • Биссектрис — инцентр, центр вписанной окружности;
  • Высот — ортоцентр;
  • Серединных перпендикуляров — центр описанной окружности;
  • Cимедиан — точка Лемуана;
  • Биссектрис серединного треугольника (его инцентра) — точка Шпикера;
• Точки пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника:
  • c точками касания противоположных сторон и вписанной окружности — точка Жергонна;
  • c точками касания противоположных сторон и вневписанной окружности — точка Нагеля;
  • c соответствующими свободными вершинами равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника (наружу) — первая точка Торричелли
  • с соответствующими свободными вершинами правильных треугольников, построенных внутрь треугольника — вторая точка Торричелли.
  • c соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных исходному треугольнику и построенных на его сторонах — точки Брокара;
• Центр окружности девяти точек.

Задание

Барицентрические координаты центра, записанные через стороны (или тригонометрические функции углов) треугольника, дают возможность перевести многие задачи о центрах треугольника на алгебраический язык. Например, выяснить, задают ли два определения один и тот же центр или лежат ли три данных центра на одной прямой.

Вариации и обобщения

• Рассматривают пары центров. Например
  • точки Брокара.
  • Точки Аполлония. Для всякого невырожденного треугольника АВС можно построить окружность Аполлония к стороне АВ, проходящую через точку С. Окружности, построенные таким образом к трём сторонам, будут пересекаться в двух точках — внутренней и внешней Аполлония соответственно.

Литература

• Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. ред. М. Д. Аксёнова. — М.: Аванта+, 2001. — 688 c.: ил.
• А. Г. Мякишев Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.

См. также

• Оси треугольника
• Окружность девяти точек
• Отрезки и окружности, связанные с треугольником
• Прямая Симсона
• Прямая Эйлера
• Точка Ферма

Ссылки

• Замечательные точки треугольника
• Энциклопедия центров треугольника (англ.)