Замкнутое множество

Для термина «Замкнутость» см. другие значения.

За́мкнутые мно́жества в общей топологии, функциональном анализе и математическом анализе — это дополнения к открытым множествам. Замкнутое множество содержит все свои точки прикосновения.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$. Множество $V \subset X$ называется замкнутым относительно топологии $\mathcal{T}$, если существует открытое множество $U \in \mathcal{T},$ такое что $V = X \setminus U$.

Операция замыкания

Замыканием множества $U$ топологического пространства $X$ называют минимальное по включению замкнутое множество $Z$ содержащее $U$. Замыкание множества $U \subset X$ обычно обозначается $\bar U$, $\mathop{\rm Cl}U$ или $\mathop{\rm Cl}_X U$ если надо подчеркнуть что $\bar U$ рассматривается как множество в пространстве $X$.

Критерий замкнутости

Из определения операции замыкания следует практически очевидный критерий: $U \in \mathrm{Cl}(\mathcal{T}) \Leftrightarrow \mathrm{cl}\;U=U$.

Примеры

• Пустое множество $\emptyset$ всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
• Отрезок $[a,b] \subset \mathbb{R}$ замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто.
• Множество $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ замкнуто в пространстве рациональных чисел $\mathbb{Q}$, но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел $\mathbb{R}$.

См. также

• Открытое множество