Замкнутое множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

За́мкнутое мно́жество — подмножество пространства, дополнение к которому открыто.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть дано топологическое пространство (X,\mathcal{T}). Множество V \subset X называется замкнутым относительно топологии \mathcal{T}, если существует открытое множество U \in \mathcal{T} такое, что V = X \setminus U.

Замыкание[править | править вики-текст]

Замыканием множества U топологического пространства X называют минимальное по включению замкнутое множество Z, содержащее U.

Замыкание множества U \subset X обычно обозначается \bar U, \mathop{\rm Cl}U или \mathrm{Cl}_X U; последнее обозначение используется, если надо подчеркнуть, что \bar U рассматривается как множество в пространстве X.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Множество U замкнуто тогда и только тогда, когда \bar U=U.

Примеры[править | править вики-текст]

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве F  содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества F [1].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Александров П. С., Пасынков В. А.  Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 24.

Литература[править | править вики-текст]

  • Завало С. Т.  Елементи аналізу. Алгебра многочленів. — Київ: Радянська школа, 1972.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В.  Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 575 с. — ISBN 5-9221-0266-4
  • Фихтенгольц Г. М.  Основы математического анализа. — М.: Наука, 1954.