Замыкание (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В геометрии и топологии замыка́ние подмножества топологического пространства — это пересечение всех замкнутых подмножеств содержащих данное подмножество. Эквивалентно, замыкание подмножества — это совокупность всех его точек прикосновения.

Содержание 1 Точка прикосновения 1.1 Определение 1.2 Замечание 1.3 Примеры 2 Замыкание 2.1 Определение 2.2 Свойства 2.3 Замечание 2.4 Примеры

[править] Точка прикосновения

[править] Определение

Пусть задано топологическое пространство , и подмножество . Точка называется то́чкой прикоснове́ния множества M, если любая её окрестность пересекается с M. То есть,

[править] Замечание

Очевидно, если , то x является точкой прикосновения. Обратное, вообще говоря, неверно.

[править] Примеры

Пусть  — множество действительных чисел со стандартной топологией, и  — произвольный интервал. Тогда любая точка является точкой прикосновения M.

[править] Замыкание

[править] Определение

Совокупность всех точек прикосновения множества называется замыканием множества M и обозначается или cl(M).

[править] Свойства

1. Операция замыкания является унарной операцией на множестве всех подмножеств X.
2. Замыкание множества содержит само множество, то есть .
3. Замыкание множества замкнуто.
4. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть .
5. В частности,
6. 
7. Замыкание множества M является наименьшим замкнутым множеством, содержащим M, то есть .
8. Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть
9. Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть
10. Замыкание пересечения есть подмножество пересечения замыканий (но, вообще говоря, не равно ему), то есть .

[править] Замечание

Свойство 7 часто принимается в качестве определения замыкания. Данное выше определение тогда выводится в качестве одного из свойств.

[править] Примеры

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространство является числовая прямая с заданной на ней стандартной топологией.

• ;
• , где  — множество рациональных чисел.