Замыкание (геометрия)

Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.

Замыкание множества $S$ обычно обозначается $\bar S$

Определения

Следующие два определения равносильны.

Как наименьшее замкнутое множество

Пусть $S$ есть подмножество топологического пространства $X$. Замыканием $S$ в $X$ называется пересечение всех замкнутых множеств содержащих $S$.

Замечание. Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.

Через точки прикосновения

Точка $x$ топологического пространства $X$ называется точкой прикосновения множества $S$ если любая окрестность $x$ содержит хотя бы одну точку множества $S$.

Множество всех точек прикосновения $S$ называется замыканием $S$.

Свойства

• Замыкание множества замкнуто.
• Замыкание множества содержит само множество, то есть

  $S\subset\bar{S}$.

• Замыкание множества содержит все его предельные точки.
• Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть

  $S=\bar{S}$.

• $\bar{\bar{S}}=\bar{S}.$
• Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть

  $(S\subset T)\Rightarrow(\bar{S}\subset\bar{T}).$

• Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть

• $\overline{S\cup T}=\bar{S}\cup\bar{T}.$

• Замыкание пересечения является подмножеством пересечения замыканий, то есть

• $\overline{S\cap T}\subset\bar{S}\cap\bar{T}.$

Примеры

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая $\mathbb{R}$ с заданной на ней стандартной топологией.

• $\overline{(a,\;b)}=[a,\;b]$;
• $\bar{\Q}=\R$, где $\Q$ — множество рациональных чисел.