Звезда (геометрия)

Правильная четырёхконечная звезда

Звезда — определённый вид плоских невыпуклых многоугольников, не имеющий, однако, однозначного математического определения. Обычно под звёздами подразумевают фигуры, напоминающие по форме изображение звезды.

Одно из определений

Звезда — плоская геометрическая фигура, составленная из треугольных лучей, исходящих из общего центра, сливающихся в точке схождения.

По количеству лучей выделяют трёхконечные, четырёхконечные и т. д. звёзды.

Произвольная n-конечная звезда строится следующим образом: строится окружность. (Назовём отрезок, пересекающий эту окружность не более чем в одной точке, «внешним».) На ней произвольным образом выбирают n точек (назовём их «синими»). Далее вне круга, ограниченного этой окружностью, ставятся n точек (назовём их «красными») так, чтобы любая синяя точка была соединена внешними отрезками ровно с двумя красными, а любая красная точка была соединена двумя внешними отрезками ровно с двумя синими; при этом никакие два из этих отрезков не должны пересекаться иначе как в концах; и углы между двумя отрезками, исходящими из одной синей точки, — внешние углы звезды, — должны быть тупыми (следовательно, углы между двумя отрезками, исходящими из одной красной точки, — внутренние углы звезды, — должны быть острыми).

Звездой будет называться многоугольник, образованный построенными нами внешними отрезками. Очевидно, n-конечная звезда является невыпуклым 2n-угольником. Можно определить n-конечную звезду как 2n-угольник, у которого углы при вершинах поочерёдно то больше 180°, то меньше.

Окружность, на которой строилась звезда, называется базовой; базовая окружность входит в звезду; радиус базовой окружности является важной характеристикой звезды.

Правильной называется звезда, у которой все внутренние углы равны и все внешние углы равны.

Фигура, ограниченная двумя отрезками, исходящими из одной красной точки, и дугой базовой окружности, на которую этот угол опирается, называется лучом звезды. Очевидно:

• количество лучей равно угольности звезды (поэтому иногда n-конечную звезду называют n-лучевой);
• звезда — есть объединение лучей с базовой окружностью;
• у правильной звезды прямые стороны всех лучей равны. (Звезду, у которой у каждого луча прямые стороны равны, но прямая сторона одного луча не обязательно равна прямой стороне другого луча, называют полуправильной; правильная звезда — частный вид полуправильной.)

Отрезки, соединяющие центр базовой окружности и красные точки, называются радиалами соответствующих данным красным точкам лучам звезды. Звезда, у которой длины всех радиалов равны, называется равнолучевой.

У полуправильной звезды углы между двумя соседними радиалами равны. У правильной звезды, кроме этого, длины радиалов равны. Таким образом, правильная звезда — это полуправильная равнолучевая звезда.

Другое определение

Пятиконечная звезда {5/2}, вписанная в правильный пятиугольник {5/1}

Пентаграмма Пенроуза

Другое, отличное от предыдущего, понятие звезды связано со способом построения, который состоит в том, что по кругу симметрично ставятся n точек и они соединяются между собой, при этом каждая точка соединяется со следующей, m-ной от неё при счёте по кругу, через некоторое количество точек (m - 1) (при m = 1 точки соединяются подряд и получается выпуклый правильный многоугольник). Звезда, полученая таким образом, обозначается символом {n/m}. При этом точки пересечения сторон между собой не рассматриваются как вершины. Такая звезда имеет n вершин и n сторон, также как и правильный n-угольник. Её также называют звёздчатым многоугольником, и она является звёздчатой формой соответствующего ей n-угольника.

Соотношение радиусов 2 окружностей правильной звезды с вышеприведённым вариантом построения: внешней (на которой лежат вершины углов лучей звезды) и внутренней (на которой лежат точки пересечения сторон соседних лучей) вычисляется по формуле:

$\frac{\cos\left(\frac{\pi}{n}\times m\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\times (m-1)\right)}$

Звёзды могут быть связными (нераспадающимися едиными многоугольниками), не являясь соединениями других правильных или звёздчатых многоугольников, а могут быть несвязными, распадаясь на несколько одинаковых правильных многоугольников или связных звёзд.

Треугольник Рёло

Bogenvieleck

Многоугольника Рёло, построенного на неправильном равностороннем звёздчатом семиугольнике

Двумерное дискретное множество звёзд.
Пурпурные — выпуклые многоугольники.
Зелёные — связные звёзды {n/m} (где n и m взаимно простые числа), см. также Фигуры Лиссажу.
Чёрные — не связные звёзды {n/m} (где n и m не взаимно простые числа).
Синие прямые соединяют многоугольник (выпуклый или связную звезду) со всеми не связными звёздами, являющимися соединениями (после поворота) разного количества одинаковых многоугольников, таких же как этот

Многообразие звёзд

В природе

• Морская звезда

Шахматы

• На шахматной доске в поле 3х3 траектория коня образует восьмиконечную звезду

См. также

• Звёздчатый многогранник
• Звёздчатый многоугольник
• Звёздная область
• Пифагорейский пентакл
• Пентаграмма
• Октаграмма
• Ромб

Ссылки

Звёздчатые многоугольники — звёздчатые иллюзии