Звезда Ходжа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства p-векторов в пространство n-p-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами p-форм и p-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n-q.

*\colon \Lambda^q(T^*M) \to \Lambda^{n-q}(T^*M)

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

Определение[править | править вики-текст]

Вспомогательные определения[править | править вики-текст]

Определим форму объёма

\Omega=f(X)dX^0\wedge\ldots\wedge dX^{n-1}
\Omega_{M_1\ldots M_n}=f(X)\varepsilon_{M_1\ldots M_n}

где f(X):M\to \mathbb{R} — неотрицательный скаляр на многообразии M, а \varepsilon_{M_1\ldots M_n} — полностью антисимметричный символ. \varepsilon_{0\ldots n-1}=+1. Даже в отсутствие метрики, если f(X)>0, можно определить контравариантые компоненты формы объёма.

\check{\Omega}=\frac{1}{f(X)}\frac{\partial}{\partial{X^0}}\wedge\cdots\wedge\frac{\partial}{\partial{}{X^{n-1}}}
\check{\Omega}^{M_1\ldots M_n}=f^{-1}(X)\varepsilon^{M_1\ldots M_n}

здесь антисимметричный символ \varepsilon^{M_1\ldots M_n} совпадает \varepsilon_{M_1\ldots M_n}.

В присутствии метрики \Omega с поднятыми индексами может отличаться от \check{\Omega} на знак: \Omega=\sigma\check{\Omega}. Здесь и далее \sigma=\sgn\det(g_{mk})

Введём операцию антисимметризации:

A_{[m_1\ldots m_q]}=\frac{1}{q!}\sum_{\sigma(m_1\ldots m_q)}(-1)^{\sgn(m_1\ldots m_q)}A_{\sigma(m_1\ldots m_q)}. Суммирование ведётся по всем перестановкам \sigma(m_1\ldots m_q) индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности \sgn(\sigma). Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: A_{k[lm]}=\frac{1}{2!}(A_{klm}-A_{kml}); A_k^{[l}B_p^{m]}=\frac{1}{2!}(A_k^l B_p^m - A_k^m B_p^l).

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

A^{A\ldots\lfloor K_1\ldots K_k\rfloor B\ldots}{}_{C\ldots\lfloor K_1\ldots K_k\rfloor D\ldots}=\frac{1}{k!}A^{A\ldots K_1\ldots K_k B\ldots}{}_{C\ldots K_1\ldots K_k D\ldots}.

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки \lfloor\;\rfloor только по упорядоченным наборам не деля на k!, это связано с тем, что разные наборы индексов K_1\ldots K_k, отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

(A,B)^{(k)}_{M_{k+1}\ldots M_q}{}^{N_{k+1}\ldots N_p}=A_{\lfloor K_1\ldots K_k\rfloor M_{k+1}\ldots M_q}B^{\lfloor K_1\ldots K_k \rfloor N_{k+1}\ldots N_p}
(A,B)^{\underline{(k)}}_{M_1\ldots M_{q-k}}{}^{N_1\ldots N_{p-k}}=A_{M_1\ldots M_{q-k}\lfloor K_1\ldots K_k \rfloor}B^{N_1\ldots N_{p-k}\lfloor K_1\ldots K_k \rfloor}

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды Ходжа[править | править вики-текст]

Используя форму объёма \Omega и поливектор \check{\Omega} можно ввести операцию *, превращающую поливектор B степени p в дифференциальную форму *B степени n-p, и обратную операцию *^{-1}, превращающую форму A степени q в поливектор *^{-1}A степени n-q

*B=(\Omega,B)^{(p)}
*^{-1}A=(A,\check{\Omega})^{\underline{(q)}}

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

(*B)_{m_{q+1}\ldots m_n}=\frac{f(X)}{q!}B^{m_1\ldots m_q}\varepsilon_{m_1\ldots m_n}

Поскольку *^{-1}*B=B и **^{-1}A=A, то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов * и *^{-1} введём пару операторов: \check{*} и \check{*}^{-1}, отличающихся от них знаком.

\check{*}B=(\Omega,B)^{\underline{(p)}}
\check{*}^{-1}A=(A,\check{\Omega})^{(q)}

Звезда Ходжа в присутствии метрики[править | править вики-текст]

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика g_{mk}. Обозначим g=\det(g_{mk}).

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой g_{mk} называется форма \Omega=\sqrt{|g|}dX^0\wedge\ldots\wedge dX^{n-1}=\sqrt{|g|}d^n X В компонентах:

\Omega_{m_1\ldots m_n}=\sqrt{|g|}\varepsilon_{m_1\ldots m_n}
\Omega^{m_1\ldots m_n}=\frac{\sqrt{|g|}}{g}\varepsilon^{m_1\ldots m_n}=\frac{\sgn(g)}{\sqrt{|g|}}\varepsilon^{m_1\ldots m_n}

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

A_{m_1\ldots m_n}=A^{l_1\ldots l_n}g_{m_1 l_1}\cdots g_{m_n l_n}

Поэтому мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами. (*A)_{m_{q+1}\ldots m_n}=\frac{1}{q!}\Omega_{m_1\ldots m_n}A_{l_1\ldots l_q}g^{m_1 l_1}\cdots g^{m_q l_q}

Дополнительные операторы[править | править вики-текст]

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

\delta=*^{-1}d*
(\delta A)^{M_1\ldots M_{q-1}}=\frac{1}{f(X)}\partial_{M_q}(f(X)A^{M_1\ldots M_q})

В присутствие метрики оператор дивергенции \delta выражается через оператор ковариантной производной \nabla, определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

(\delta A)^{M_1\ldots M_{q-1}}=(\nabla,A)^{\underline{(1)}M_1\ldots M_{q-1}}=\nabla_{M_q}A^{M_1\ldots M_q}=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_{M_q}(\sqrt{|g|}A^{M_1\ldots M_q})

Иногда операцию d (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию \delta — дивергенцией. Для 1-формы операция \delta задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)


Лапласиан \Delta от q-формы A определяется формулой:

\Delta A=(-1)^q(\delta d + d\delta)A

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа-Бельтрами:

\Delta\varphi=\nabla_M\nabla^M\varphi=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_M\sqrt{|g|}g^{MN}\partial_N\varphi

Для скаляра \Delta=\nabla_M\nabla^M. Если q>0, то для произвольной метрики в \Delta появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае q=1

(\Delta A)_K=\nabla_M\nabla^M A_K - R_K{}^M A_M

где R_K{}^M — тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

Свойства звёздочки Ходжа[править | править вики-текст]

Источники[править | править вики-текст]