Знакопеременная группа

Знакопеременной группой подстановок степени n (обозн. $A_n$) называется подгруппа симметрической группы $S_n$ степени $n$, содержащая только чётные перестановки.

Свойства

• Индекс подгруппы знакопеременной группы в симметрической равен 2:

  $[S_n:A_n] = 2.$

• Знакопеременная группа является нормальной подгруппой симметрической группы (следует из предыдущего утверждения).
• Порядок знакопеременной группы равен:

  $|A_n| = n!/2.$

• Знакопеременная группа является коммутантом симметрической группы: $[S_n;S_n] = A_n.$
• Знакопеременная группа разрешима тогда и только тогда, когда её порядок не больше 4. Точнее, $A_2=\{e\}, A_3\cong\mathbb{Z}_3, [A_4;A_4]\cong V_4$ - четверной группе Клейна, а при $n\geqslant 5 \ [A_n; A_n]\cong A_n$.