Идеальный газ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Термодинамика
Thermodynamics navigation image.svg
Статья является частью одноименной серии.
Начала термодинамики
Уравнение состояния
Термодинамические величины
Термодинамические потенциалы
Термодинамические циклы
Фазовые переходы
править
См. также «Физический портал»

Идеальный газ — математическая модель газа, в которой в рамках молекулярно-кинетической теории предполагается, что: 1) потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией; 2) суммарный объём молекул газа пренебрежимо мал; 3) между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги; 4) время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями. В расширенной модели идеального газа частицы, из которого он состоит, имеют форму упругих сфер или эллипсоидов, что позволяет учитывать энергию не только поступательного, но и вращательно-колебательного движения, а также не только центральные, но и нецентральные столкновения частиц[1]. В рамках термодинамики идеальным называется газ, подчиняющийся термическому уравнению состояния Клапейрона — Менделеева[2][3].

Модель широко применяется для решения задач термодинамики газов и задач аэрогазодинамики. Например, воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре с большой точностью описывается данной моделью. В случае экстремальных температур или давлений требуется применение более точной модели, например модели газа Ван-дер-Ваальса, в котором учитывается притяжение между молекулами.

Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна).

История[править | править вики-текст]

Клапейрон первым сформулировал уравнение идеального газа

Существование атмосферного давления было показано рядом экспериментов в XVII веке. Одним из первых доказательств гипотезы стали магдебургские полушария, сконструированные немецким инженером Герике. Из сферы, образованной полушариями, выкачивался воздух, после чего их было трудно разъединить в силу внешнего давления воздуха. Другой эксперимент в рамках исследования природы атмосферного давления поставил Роберт Бойль. Он состоял в том, что если запаять изогнутую стеклянную трубку с короткого конца, а в длинное колено постоянно подливать ртуть, она не поднимется до верха короткого колена, поскольку воздух в трубке, сжимаясь, будет уравновешивать давление ртути на него. К 1662 году данные опыты позволили прийти к формулировке закона Бойля — Мариотта[4].

В 1802 году Гей-Люссаком был впервые опубликован в открытой печати закон объёмов (называемый в русскоязычной литературе законом Гей-Люссака) [5], однако сам Гей-Люссак считал, что открытие было сделано Жаком Шарлем в неопубликованной работе, относящейся к 1787 году. Независимо от них закон был открыт в 1801 году английским физиком Джоном Дальтоном. Кроме того, качественно закон был описан французом Гийомом Амонтоном в конце XVII века. Впоследствии он уточнил свои эксперименты и установил, что при изменении температуры от 0 до 100 °C объём воздуха линейно увеличивается на 0,375. Проведя аналогичные опыты с другими газами, Гей-Люссак установил, что это число одинаково для всех газов, несмотря на общепринятое мнение, что разные газы расширяются при нагревании различным образом.

В 1834 году из комбинации этих законов Клапейрон смог составить уравнение идеального газа[6]. Тот же закон, уже с использованием молекулярно-кинетической теории был сформулирован Августом Крёнигом в 1856 году[7] и Рудольфом Клаузиусом в 1857 году[8].

Классический идеальный газ[править | править вики-текст]

Объём идеального газа линейно зависит от температуры при постоянном давлении

Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения:

  • Диаметр молекулы \,d пренебрежимо мал по сравнению со средним расстоянием между ними (nd^3 \to 0) [9][10].
  • Импульс передается только при соударениях, то есть силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях.
  • Суммарная энергия частиц газа постоянна, если отсутствует теплопередача и газ не совершает работы.

В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно полному импульсу, переданному при столкновении частиц со стенкой в единицу времени, внутренняя энергия — сумме энергий частиц газа.

По эквивалентной формулировке идеальный газ - такой газ, который одновременно подчиняется закону Бойля — Мариотта и Гей-Люссака[10], то есть:

\,pV = bT,

где \,p — давление, \,T — абсолютная температура. Свойства идеального газа описываются уравнением Клапейрона — Менделеева

\,pV = \frac{m}{M}RT,

где R - универсальная газовая постоянная, \,m — масса, \,M — молярная масса.

или

\,p = nkT,

где \,n — концентрация частиц, \,k — постоянная Больцмана.

Для любого идеального газа справедливо соотношение Майера:

\,C_p-C_v=R,

где \,Rуниверсальная газовая постоянная, \,C_p — молярная теплоемкость при постоянном давлении, \,C_v — молярная теплоемкость при постоянном объёме.

Применение теории идеального газа[править | править вики-текст]

Физический смысл температуры газа[править | править вики-текст]

Так как давление молекул газа на стенку определяется по формуле \,p = \frac{2}{3}ne_{lin}, где \ e_{lin} - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа. Подставив это в уравнение Менделеева — Клапейрона получаем, что температура пропорциональна \ e_{lin}.

Распределение Больцмана[править | править вики-текст]

Распределение скоростей для 106 молекул кислорода при -100, 20, 600 градусах Цельсия

Равновесное распределение частиц классического идеального газа по состояниям следует из уравнения Менделеева — Клапейрона, из которого можно вывести распределение газа в поле потенциальной энергии. Это распределение приводит к распределению Больцмана:

\bar n_j  = ae^{ - {{\varepsilon _j } \over {kT}}},

где \bar n_j — среднее число частиц, находящихся в \,j-ом состоянии с энергией \varepsilon _j, а константа \,a определяется условием нормировки:

\sum{n_j}=N,

где \,N — полное число частиц.

Распределение Больцмана является предельным случаем (квантовые эффекты пренебрежимо малы) распределений Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна, и, соответственно, классический идеальный газ является предельным случаем Ферми-газа и Бозе-газа.

Адиабатический процесс[править | править вики-текст]

График адиабаты (жирная линия) на p\circ V диаграмме для газа.
p — давление газа;
V — объём.

C помощью модели идеального газа можно предсказать изменение параметров состояния газа при адиабатическом процессе. Перепишем уравнение в виде:

\, pV=\nu RT

Продифференцировав обе части, получаем:

\, pdV+Vdp=\nu RdT

Затем, если подставить в это уравнение значение работы и внутренней энергии газа, получим Уравнение Пуассона.

Квантовый идеальный газ[править | править вики-текст]

Понижение температуры и увеличение плотности газа может привести к ситуации, когда среднее расстояние между частицами становится соизмеримым с длиной волны де Бройля для этих частиц, что приводит к переходу от классического к квантовому идеальному газу (см. Вырожденный газ). В таком случае поведение газа зависит от спина частиц: в случае полуцелого спина (фермионы) действует статистика Ферми — Дирака (Ферми-газ), в случае целого спина (бозоны) — статистика Бозе — Эйнштейна (Бозе-газ).

Ферми-газ[править | править вики-текст]

Для фермионов действует принцип Паули, запрещающий двум тождественным фермионам находиться в одном квантовом состоянии. Вследствие этого при абсолютном нуле температуры импульсы частиц и, соответственно, давление и плотность энергии Ферми-газа отличны от нуля и пропорциональны числу частиц в единице объёма. Существует верхний предел энергии, который могут иметь частицы Ферми-газа при абсолютном нуле (Энергия Ферми \,E_F). Если энергия теплового движения частиц Ферми-газа значительно меньше энергии Ферми, то это состояние называют вырожденным газом.

Особенностью Ферми-газов является крайне слабая зависимость давления от температуры: в нерелятивистском случае давление P \sim K \rho ^{5/3}, в релятивистском — P_{rel} \sim K_{rel}\rho ^{4/3}.

Примерами Ферми-газов являются электронный газ в металлах, сильнолегированных и вырожденных полупроводниках, вырожденный газ электронов в белых карликах и вырожденный газ нейтронов в нейтронных звёздах.

Бозе-газ[править | править вики-текст]

Распределение скоростей атомов рубидия вблизи абсолютного нуля.Слева - распределение до образования конденсата, в центре - после образования, справа - после испарения газообразной составляющей и появления чистого конденсата

Так как бозоны могут быть строго тождественны друг другу[11][12] и, соответственно, принцип Паули на них не распространяется, то при снижении температуры Бозе-газа ниже некоторой температуры T_0 возможен переход бозонов на наинизший энергетический уровень с нулевым импульсом, то есть образование конденсата Бозе — Эйнштейна. Поскольку давление газа равно сумме импульсов частиц, переданной стенке в единицу времени, при \,T < T_0 давление Бозе-газа зависит только от температуры.Этот эффект в 1995 году наблюдался экспериментально, а в 2001 году авторам эксперимента была присуждена Нобелевская премия[13].

Примерами Бозе-газов являются различного рода газы квазичастиц (слабых возбуждений) в твёрдых телах и жидкостях, сверхтекучая компонента гелия II, конденсата Бозе — Эйнштейна куперовских электронных пар при сверхпроводимости. Примером ультрарелятивистского бозе-газа является фотонный газ[11][12].

Идеальный газ в гравитационном поле[править | править вики-текст]

В ОТО-релятивистской термодинамике при термическом равновесии газовой (жидкой) сферы собственная температура, измеряемая местным наблюдателем, понижается при перемещении по радиусу от центра сферы к её поверхности. Этот релятивистский эффект невелик (исключая случай сверхсильных гравитационных полей) и у поверхности Земли им пренебрегают[14].

Реальное воздействие гравитационного поля на газ (жидкость) проявляется в первую очередь через зависимость гидростатического давления от высоты столба газа (жидкости). Влияние поля тяготения на термодинамические свойства системы можно не учитывать в том случае, когда изменение давления по высоте много меньше абсолютной величины давления. Не выходя за рамки термодинамики, Дж. Максвелл установил[15], что «…температура газа, который находится в состоянии термического равновесия, не зависит от высоты» столба газа, и что этот вывод справедлив для любых газов (жидкостей). Методами молекулярно-кинетической теории этот же результат для газов был получен Л. Больцманом (см. [16]).

Зависимость давления от высоты изотермического столба идеального газа даёт барометрическая формула. В простейшей термодинамической модели, объясняющей наблюдаемую неизотермичность земной атмосферы, рассматривают не равновесное, а стационарное состояние столба идеального газа, достигаемое равновесным адиабатическим процессом циркуляции воздуха, когда теплопередача в сторону убыли температуры (вверх), уравновешиваемая переносом потенциальной энергии молекул воздуха в обратном направлении[17][18].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. .Ю. Н. Любитов [1] // Физическая энциклопедия / Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов, Б. К. Вайнштейн, С. В. Вонсовский, А. В. Гапонов-Грехов, С. С. Герштейн, И. И. Гуревич, А. А. Гусев, М. А. Ельяшевич, М. Е. Жаботинский, Д. Н. Зубарев, Б. Б. Кадомцев, И. С. Шапиро, Д. В. Ширков; под общ. ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988—1999.
  2. Герасимов Я. И. и др., Курс физической химии, т. 1, 1970, с. 50.
  3. Кубо Р., Термодинамика, 1970, с. 25.
  4. Кудрявцев, 1956, с. 185—186
  5. Gay-Lussac, J. L. Recherches sur la dilatation des gaz et des vapeurs // Annales de chimie. — 1802. — Vol. XLIII. — P. 137.
  6. Clapeyron, E. (1834). «Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur». Journal de l'École Polytechnique XIV: 153–90.  (фр.) Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 153–90).
  7. Krönig, A. (1856). «Grundzüge einer Theorie der Gase». Annalen der Physik 99 (10): 315–22. DOI:10.1002/andp.18561751008. Bibcode:1856AnP...175..315K.  (нем.) Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 315–22).
  8. Clausius, R. (1857). «Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen». Annalen der Physik und Chemie 176 (3): 353–79. DOI:10.1002/andp.18571760302. Bibcode:1857AnP...176..353C.  (нем.) Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 353–79).
  9. Коган М. Н. Динамика разреженного газа (кинетическая теория. М., 1967)
  10. 1 2 Савельев, 2001, с. 24
  11. 1 2 Einstein A. (1924). «Quantentheorie des einatomigen idealen Gases». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Physikalisch-mathematische Klasse 1924: 261—267.  (нем.)
  12. 1 2 Einstein A. (1925). «Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, Zweite Abhandlung». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Physikalisch-mathematische Klasse 1925: 3—14.  (нем.)
  13. Anderson, M. H.; Ensher, J. R.; Matthews, M. R.; Wieman, C. E.; Cornell, E. A. (1995). «Observation of Bose–Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor». Science 269: 198—201. DOI:10.1126/science.269.5221.198. PMID 17789847.  (англ.)
  14. Толмен Р., Относительность, термодинамика и космология, 1974, с. 320.
  15. Maxwell James Clerk, On the Dynamical Theory of Gases, 1866.
  16. Эренфест П., Об одном старом заблуждении относительно теплового равновесия газа в поле тяготения, 1923.
  17. Яковлев В. Ф., Курс физики. Теплота и молекулярная физика, 1976, с. 313–316.
  18. Сычев В. В., Сложные термодинамические системы, 2009, с. 186–190.

Литература[править | править вики-текст]

  1. Maxwell James Clerk On the Dynamical Theory of Gases. — The Scientific Papers of James Clerk Maxwell. — N. Y.: Dover Publications, Inc., 2003. — XXXI + 607 с. — (Dover Phoenix Editions). — ISBN 978-0486-49560-6.
  2. V.P.Maslov, Mathematical conception of the gas theory
  3. Герасимов Я. И., Древинг В. П., Еремин Е. Н. и др. Курс физической химии / Под общ. ред. Я. И. Герасимова. — 2-е изд. — М.: Химия, 1970. — Т. I. — 592 с.
  4. Кубо Р. Термодинамика. — М.: Мир, 1970. — 304 с.
  5. П. С. Кудрявцев История физики. — М.: Гос. учебно-педагог. изд-во, 1956. — Т. 1. От античной физики до Менделеева. — 564 с. — 25 000 экз.
  6. Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.
  7. Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп.. — М: Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0.
  8. Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология / Пер. с англ. под ред. Я. А. Смородинского. — М: Наука, 1974. — 520 с.
  9. Эренфест П. Об одном старом заблуждении относительно теплового равновесия газа в поле тяготения. — П. Эренфест. Относительность. Кванты. Статистика. — М: Наука, 1972. — 360 с.
  10. Яковлев В. Ф. Курс физики. Теплота и молекулярная физика. — М: Просвещение, 1976. — 320 с.