Изгибаемый многогранник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Многогра́нник (точнее — многогранная поверхность) называется изгиба́емым, если его пространственную форму можно изменить такой непрерывной во времени деформацией, при которой каждая грань не изменяет своих размеров (то есть движется как твёрдое тело), а деформация осуществляется только за счёт непрерывного изменения двугранных углов. Такая деформация называется непрерывным изгибанием многогранника.

Свойства и примеры[править | править вики-текст]

В теории изгибаемых многогранников известно немало красивых и нетривиальных утверждений. Ниже приведены наиболее важные из установленных на сегодня фактов, придерживаясь хронологического порядка:

  1. Никакой выпуклый многогранник не может быть изгибаемым. Это немедленно вытекает из теоремы Коши об однозначной определённости выпуклого многогранника, доказанной в 1813 году.
  2. Первые примеры изгибаемых многогранников были построены бельгийским инженером и математиком Раулем Брикаром в 1897 году[1]. Сейчас их называют октаэдрами Брикара. Они не только невыпуклые, но и имеют самопересечения, что не позволяет построить их движущуюся картонную модель.
  3. В 1976 году американский математик Роберт Коннелли впервые построил изгибаемый многогранник без самопересечений[2].
  4. Из всех известных на сегодняшний день изгибаемых многогранников без самопересечений наименьшее число вершин (девять) имеет многогранник, построенный немецким математиком Клаусом Штеффеном (нем. Klaus Steffen)[3].
  5. Известны примеры изгибаемых многогранников, являющихся реализациями тора[4] или бутылки Клейна или вообще двумерной поверхности любого топологического рода.
  6. Из формулы Шлефли следует, что любой изгибаемый многогранник в процессе изгибания сохраняет так называемую интегральную среднюю кривизну, то есть число, равное \sum |\ell|(\pi-\alpha(\ell)), где |\ell| — длина ребра ~\ell, ~\alpha(\ell) — величина внутреннего двугранного угла при ребре ~\ell, а сумма распространяется на все рёбра многогранника. См. также [5].
  7. Теорема Сабитова[6]: Любой изгибаемый многогранник в процессе изгибания сохраняет свой объём, то есть он будет изгибаться даже если его заполнить несжимаемой жидкостью.
  8. В 2012 А. Гайфуллиным доказан многомерный аналог теоремы Сабитова - любой изгибаемый многогранник в размерности n\geq4 в процессе изгибания сохраняет свой объем.[7]

Гипотезы[править | править вики-текст]

Несмотря на значительный прогресс, в теории изгибаемых многогранников остаётся много нерешённых проблем. Вот несколько открытых гипотез:

  1. многогранник Штеффена имеет наименьшее число вершин среди всех изгибаемых многогранников, не имеющих самопересечений[8];
  2. если один многогранник, не имеющий самопересечений, получен из другого многогранника, который также не имеет самопересечений, непрерывным изгибанием, то эти многогранники равносоставлены, то есть первый можно разбить на конечное число тетраэдров, каждый из этих тетраэдров независимо от других можно передвинуть в пространстве и получить разбиение второго многогранника[9].

Обобщения[править | править вики-текст]

Всё сказанное выше относилось к многогранникам в трёхмерном евклидовом пространстве. Однако данное выше определение изгибаемого многогранника примени́мо и к многомерным пространствам и к неевклидовым пространствам, таким как сферическое пространство и пространство Лобачевского. Для них также известны как нетривиальные теоремы, так и открытые вопросы. Например:

  1. доказано, что в четырёхмерном евклидовом пространстве, пространстве Лобачевского размерности 3 и 4, а также в сферическом пространстве размерности 3 и 4 имеются изгибаемые многогранники[10], в то время как существование изгибаемых многогранников в евклидовых пространствах размерности 5 и выше остаётся открытым вопросом;
  2. Доказано, что в трёхмерном сферическом пространстве существует изгибаемый многогранник, объём которого непостоянен в процессе изгибания[11], но не известно обязательно ли сохраняется объём изгибаемого многогранника в трёхмерном пространстве Лобачевского.

Сделай сам[править | править вики-текст]

Сделать модель изгибаемого многогранника Штеффена совсем не трудно. Опишем это процесс шаг за шагом.

  • Сохраните файл с развёрткой многогранника Штеффена из приведённой выше «галереи изображений».
  • Увеличьте развёртку в 2—3 раза и распечатайте его на принтере (при этом желательно использовать плотную бумагу или полукартон).
  • Вырежьте развёртку по контуру, состоящему из красных, синих и чёрных (сплошных и пунктирных) отрезков.
  • Несколько раз перегните бумагу по оставшимся на развёртке сплошным и пунктирным отрезкам. Выполняя последующие действия следует придавать поверхности такую форму, чтобы сплошные отрезки были «горными хребтами» (то есть выступали из многогранника наружу), а пунктирные отрезки были «долинами» (то есть вдавались бы внутрь многогранника).
  • Изогните поверхность в пространстве и склейте между собой каждые два чёрных отрезка, соединённых на развёртке зелёной дугой окружности.
  • Склейте между собой два синих отрезка.
  • Склейте между собой два красных отрезка.

Модель многогранника Штеффена готова.

Популярная литература[править | править вики-текст]

Научная литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. R. Bricard. Mémoire sur la théorie de l’octaèdre articulé. J. Math. Pures Appl. 1897. 3. P. 113—150 (см. также английский перевод).
  2. R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces, Math. Mag. 52 (1979), no. 5, 275—283.
  3. М. Берже, Геометрия. М.: Мир, 1984. Т. 1. С. 516—517.
  4. В. А. Александров, Новый пример изгибаемого многогранника, Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, No 6. С. 1215—1224.
  5. R. Alexander, Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I, Trans. Amer. Math. Soc. 1985. Vol. 288, no. 2, 661—678.
  6. И. Х. Сабитов, Объем многогранника как функция длин его ребер, Фундам. прикл. матем. 1996. Т. 2, № 1. С. 305—307.
  7. А. Гайфуллин. Обобщение теоремы Сабитова на произвольные размерности (2012).
  8. И. Г. Максимов, Неизгибаемые многогранники с малым количеством вершин, Фундам. прикл. матем. 2006. Т. 12, No. 1. С. 143—165.
  9. См. стр. 231 книги под ред. А. Н. Колмогорова и С. П. Новикова: Исследования по метрической теории поверхностей. М.: Мир. 1980. На английском эта гипотеза была впервые опубликована в статье R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces, Math. Mag. 1979. Vol. 52. P. 275—283.
  10. H. Stachel, Flexible octahedra in the hyperbolic space, в книге под ред. A. Prékopa: Non-Euclidean geometries. János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6—12, 2002. New York, NY: Springer. Mathematics and its Applications 581, 209—225 (2006).
  11. V. Alexandrov, An example of a flexible polyhedron with nonconstant volume in the spherical space, Beitr. Algebra Geom. 38, No.1, 11—18 (1997). ISSN 0138-4821.