Изолированная точка множества

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Изоли́рованная то́чка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит из единственной точки.

Содержание

1 Определение
2 Связанные определения
3 Свойства
4 Примеры
5 См. также

[править] Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$ , и подмножество $A \subset X$ . Точка $x \in A$ называется изолированной точкой множества $A$ , если существует окрестность $U \in \mathcal{T}$ такая, что $U \cap A = \{x\}.$

[править] Связанные определения

Пространство, каждая точка которого является изолированной, является дискретным.

[править] Свойства

Произвольная функция $f:A\subset X \to Y$ , где $Y$ - множество с собственной топологией, всегда непрерывна в изолированной точке $x$ .

[править] Примеры

Пусть $X = \mathbb{R}$ — множество вещественных чисел с стандартной топологией.

Если $A = {0} \cup [1,2]$ , то точка $x = 0$ является изолированной, а все остальные нет.
Если $A = {0} \cup \left\{\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \equiv \left\{0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\right\},$ то $x = 0$ не является изолированной точкой, а все остальные ими являются.
Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ дискретно.
Множество рациональных чисел не имеет изолированных точек. В частности, оно не является дискретным, хотя и является счётным.
Существуют неприводимые многочлены от двух переменных f(x,y), графики которых (т.е. множество точек плоскости, в которых f(x,y)=0) содержат одну или несколько изолированных точек. Например, график функции y^2 = x^2*(x-1) состоит из кривой, лежащей в полуплоскости x>1, и изолированной точки (0;0).