Изолированная точка множества

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Изоли́рованная то́чка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит только из этой точки.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть дано топологическое пространство (X,\mathcal{T}), и подмножество A \subset X. Точка x \in A называется изолированной точкой множества A, если существует окрестность U \in \mathcal{T} такая, что U \cap A = \{x\}.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Пространство, каждая точка которого является изолированной, является дискретным.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Произвольная функция f:A\subset X \to Y, где Y - множество с собственной топологией, всегда непрерывна в изолированной точке x.

Примеры[править | править вики-текст]

Пусть A = \mathbb{R} — множество вещественных чисел с стандартной топологией.

  • Если A = \{0\} \cup [1,2], то точка x = 0 является изолированной, а все остальные нет.
  • Если A = \{0\} \cup \left\{\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \equiv \left\{0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\right\}, то x = 0 не является изолированной точкой, а все остальные ими являются.
  • Множество натуральных чисел \mathbb{N} дискретно.
  • Множество рациональных чисел не имеет изолированных точек. В частности, оно не является дискретным, хотя и является счётным.
  • Существуют неприводимые многочлены от двух переменных f(x,y), графики которых (т.е. множество точек плоскости, в которых f(x,y)=0) содержат одну или несколько изолированных точек. Например, график функции y^2 = x^2*(x-1) состоит из кривой, лежащей в полуплоскости x>1, и изолированной точки (0;0).

См. также[править | править вики-текст]