Изолированная точка множества

Изоли́рованная то́чка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит только из этой точки.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$, и подмножество $A \subset X$. Точка $x \in A$ называется изолированной точкой множества $A$, если существует окрестность $U \in \mathcal{T}$ такая, что $U \cap A = \{x\}.$

Связанные определения

• Пространство, каждая точка которого является изолированной, является дискретным.

Свойства

• Произвольная функция $f:A\subset X \to Y$, где $Y$ - множество с собственной топологией, всегда непрерывна в изолированной точке $x$.

Примеры

Пусть $A = \mathbb{R}$ — множество вещественных чисел с стандартной топологией.

• Если $A = \{0\} \cup [1,2]$, то точка $x = 0$ является изолированной, а все остальные нет.
• Если $A = \{0\} \cup \left\{\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \equiv \left\{0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\right\},$ то $x = 0$ не является изолированной точкой, а все остальные ими являются.
• Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ дискретно.
• Множество рациональных чисел не имеет изолированных точек. В частности, оно не является дискретным, хотя и является счётным.
• Существуют неприводимые многочлены от двух переменных f(x,y), графики которых (т.е. множество точек плоскости, в которых f(x,y)=0) содержат одну или несколько изолированных точек. Например, график функции y^2 = x^2*(x-1) состоит из кривой, лежащей в полуплоскости x>1, и изолированной точки (0;0).

См. также

• Предельная точка
• Точка прикосновения
• Внутренняя точка