Икосаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Икосаэдр
Икосаэдр
Тип Правильный многогранник
Грань Правильный треугольник
Граней 20
Рёбер 30
Вершин 12
Граней при вершине 5
Площадь поверхности S=5a^2\sqrt3
Объем V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3
Радиус вписанной сферы r=\begin{matrix}{1\over{4\sqrt3}}\end{matrix}(3+\sqrt5)a
Радиус описанной сферы R=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}\sqrt{2(5+\sqrt5)}a
Группа симметрии Икосаэдрическая (Ih)
Двойственный многогранник додекаэдр
Развертка икосаэдра

Икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сидение», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник[1], одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

Площадь S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

площадь: S=5a^2\sqrt3

объём: V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3

радиус вписанной сферы: r=\begin{matrix}{1\over{4\sqrt3}}\end{matrix}(3+\sqrt5)a

радиус описанной сферы: R=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}\sqrt{2(5+\sqrt5)}a

Свойства[править | править вики-текст]

  • Икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
  • В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, так что четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
  • Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
  • В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
  • Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.
  • Собрать модель икосаэдра можно при помощи 20 тетраэдров.
  • Невозможно собрать икосаэдр из правильных тетраэдров, так как радиус описанной сферы вокруг икосаэдра, соответственно и длина бокового ребра (от вершины до центра такой сборки) тетраэдра меньше ребра самого икосаэдра.

Усечённый икосаэдр[править | править вики-текст]

Молекула фуллерена C60 — усечённый икосаэдр

Усечённый икосаэдр — многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Имеет икосаэдрический тип симметрии. По сути футбольный мяч имеет форму не шара, а усечённого икосаэдра.

В мире[править | править вики-текст]

  • Икосаэдр лучше всего из всех правильных многогранников подходит для триангуляции сферы методом рекурсивного разбиения[2]. Поскольку он содержит наибольшее среди них количество граней, искажение получающихся треугольников по отношению к правильным минимально.
  • Икосаэдр применяется как игральная кость в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d20 (dice — кости).

Тела в виде икосаэдра[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]