Икосаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Икосаэдр
Икосаэдр
Тип Правильный многогранник
Грань Правильный треугольник
Граней 20
Рёбер 30
Вершин 12
Граней при вершине 5
Группа симметрии Икосаэдрическая (Ih)
Двойственный многогранник додекаэдр
Развертка икосаэдра
Икосаэдр и его описанная сфера

Икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сидение», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник[1], одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

История[править | править вики-текст]

Евклид в предложении 16 книги XIII «Начал» занимается построением икосаэдра, получая сначала два правильных пятиугольника, лежащих в двух параллельных плоскостях — из десяти его вершин, и затем — две оставшиеся противоположные друг другу вершины[2][3]:127-131. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением икосаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что двенадцать его вершин лежат в четырех параллельных плоскостях, образуя в них четыре правильных треугольника[4][3]:315-316.

Основные формулы[править | править вики-текст]

Площадь поверхности S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

Площадь:

S=5a^2\sqrt3

Объём:

V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3

Радиус вписанной сферы[5]:

r=\begin{matrix}{1\over{12}}\end{matrix}\sqrt{42+18\sqrt5}a=\begin{matrix}{1\over{4\sqrt3}}\end{matrix}(3+\sqrt5)a

Радиус описанной сферы[5]:

R=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}\sqrt{2(5+\sqrt5)}a

Свойства[править | править вики-текст]

  • Все двенадцать вершин икосаэдра лежат по три в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный треугольник.
  • Десять вершин икосаэдра лежат в двух параллельных плоскостях, образуя в них два правильных пятиугольника, а остальные две — противоположны друг другу и лежат на двух концах диаметра описанной сферы, перпендикулярного этим плоскостям.
  • Икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
  • В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, так что четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
  • Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
  • В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
  • Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.
  • Собрать модель икосаэдра можно при помощи 20 тетраэдров.
  • Невозможно собрать икосаэдр из правильных тетраэдров, так как радиус описанной сферы вокруг икосаэдра, соответственно и длина бокового ребра (от вершины до центра такой сборки) тетраэдра меньше ребра самого икосаэдра.

Усечённый икосаэдр[править | править вики-текст]

Молекула фуллерена C60 — усечённый икосаэдр

Усечённый икосаэдр — многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Имеет икосаэдрический тип симметрии. По сути футбольный мяч имеет форму не шара, а усечённого икосаэдра.

В мире[править | править вики-текст]

  • Икосаэдр лучше всего из всех правильных многогранников подходит для триангуляции сферы методом рекурсивного разбиения[6]. Поскольку он содержит наибольшее среди них количество граней, искажение получающихся треугольников по отношению к правильным минимально.
  • Икосаэдр применяется как игральная кость в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d20 (dice — кости).

Тела в виде икосаэдра[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Селиванов Д. Ф., Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  2. Euclid's Elements, Book XIII, Proposition 16.
  3. 1 2 Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
  4. Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык: Liber III. Propos. 57 // Pappi Alexandrini Collectionis. — 1876. — Vol. I. — P. 150-157.
  5. 1 2 Доказательство приведено в: Cobb, John W. The Icosahedron (англ.) (2005-2007). Проверено 3 сентября 2014.
  6. OpenGL Red Book Ch.2

Литература[править | править вики-текст]