Импликация

Импликация (лат. implicatio — связь) — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если… то…».

Импликация записывается как посылка $\Rightarrow$ следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону (остриё всегда указывает на следствие).

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:

• Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;
• Следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Булева логика

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества $~\{0, 1\}$. Результат также принадлежит множеству $~\{0, 1\}$. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений $~0, 1$ может использоваться любая другая пара подходящих символов, например $~false, true$ или $~F, T$ или «ложь», «истина».
Правило:
Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация $A\to B$ — это сокращённая запись для выражения $(\neg A)\or B$.
Таблицы истинности:
прямая импликация (от a к b) (материальная импликация, материальный кондиционал)

$~a$	$~b$	$~a\to b$
$~0$	$~0$	$~1$
$~0$	$~1$	$~1$
$~1$	$~0$	$~0$
$~1$	$~1$	$~1$

если $a\leqslant b$, то истинно (1),

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания ее таблицы истинности может пригодиться житейская модель: А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.

обратная импликация (от b к a, $A\or(\neg B)$)

$~a$	$~b$	$~a\leftarrow b$
$~0$	$~0$	$~1$
$~0$	$~1$	$~0$
$~1$	$~0$	$~1$
$~1$	$~1$	$~1$

если $a\geqslant b$, то истинно (1),
обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации ($\lnot A \land B$),
разряд займа в двоичном полувычитателе,

$~a$	$~b$	$~\lnot(a\leftarrow b)$
$~0$	$~0$	$~0$
$~0$	$~1$	$~1$
$~1$	$~0$	$~0$
$~1$	$~1$	$~0$

Импликация и следствие

Не следует путать импликацию (->) и логическое следование (=>). Импликация, как логическое выражение может сама принимать значения истины или лжи. Логическое же следование A => B, утверждает, что во всех случаях, когда формула А - истина, B - тоже будет истина.

Синонимические импликации выражения в русском языке

1. Когда А, то B
2. В в том случае, если А
3. При А В
4. Из А следует В
5. В случае А произойдет В
6. В, так как А
7. В потому, что А
8. Без А не будет В
9. В невозможно в отсутствие А
10. В необходимое условие для А
11. А достаточное условие для В.

Теория множеств

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом ⇒, и ей соответствует вложение множеств: пусть A ⊂ B, тогда

                                 a ∈ A ⇒ a ∈ B.

Например, если A — множество всех квадратов, а B — множество прямоугольников, то, конечно, A ⊂ B и

                     (a — квадрат) ⇒ (a — прямоугольник)

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации A → B формуле $\neg A \lor B$ (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле $\neg (A \land \neg B)$, которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)).

Интуиционистская логика

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде A→⊭, где ⊭ — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмов

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

Программирование

В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условия B в данном участке программмы:

if ( выражение_для_проверки_A ) {
   //if ( выражение_для_проверки_B ) {
      сделать_что-то_полезное;
   //}
   //else {
   //    сбой;
   //};
}
else {
   сделать_что-то_на_случай_ложности_A;
};

будет успешно выполняться если и только если верна импликация A→B. В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором AND или &&. При стандартных опциях компилятора (Delphi, C++ Builder) проверка идет до тех пор, пока результат не станет очевидным, и если А ложно, то (А и В) ложно вне зависимости от В, и не нужно ставить еще один условный оператор.

В функциональных языках импликация может быть не только правилом вычислений, но и видом отношения между данными, то есть обрабатываться (в том числе и выполняться) и создаваться по ходу выполнения программы.

См. также

• Логический элемент
• Логическая операция
• Дизъюнкция
• Конъюнкция
• Отрицание
• Modus ponens
• Условная вероятность

Ссылки

• Импликация и эквивалентность