Импликация

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Импликация
Не больше
Элемент - нет обозначения.PNG
Основная информация
Определение x \rightarrow y
Классы
T0
T1
M
L
S
 Нет   Да   Нет   Нет   Нет 
ДНФ \overline{x} + y
КНФ \overline{x} + y
Полином Жегалкина 1 \oplus x \oplus xy
Таблица истинности (1101)


Импликация (лат. implicatio — связь) — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «еслито…».

Импликация записывается как посылка \Rightarrow следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону (остриё всегда указывает на следствие).

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:

  • Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;
  • Следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Булева логика[править | править вики-текст]

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества ~\{0, 1\}. Результат также принадлежит множеству ~\{0, 1\}. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений ~0, 1 может использоваться любая другая пара подходящих символов, например ~false, true или ~F, T или «ложь», «истина».
Правило:
Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация A\to B — это сокращённая запись для выражения (\neg A)\or B.
Таблицы истинности:
прямая импликация (от a к b) (материальная импликация (англ.)русск., материальный кондиционал (англ.)русск.)

~a ~b ~a\to b
~0 ~0 ~1
~0 ~1 ~1
~1 ~0 ~0
~1 ~1 ~1

если a\leqslant b, то истинно (1),

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания ее таблицы истинности может пригодиться житейская модель: А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.

обратная импликация (англ.)русск. (от b к a, A\or(\neg B))

~a ~b ~a\leftarrow b
~0 ~0 ~1
~0 ~1 ~0
~1 ~0 ~1
~1 ~1 ~1

если a\geqslant b, то истинно (1),
обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (англ.)русск. ( \lnot A \land B),
разряд займа в двоичном полувычитателе,

~a ~b ~\lnot(a\leftarrow b)
~0 ~0 ~0
~0 ~1 ~1
~1 ~0 ~0
~1 ~1 ~0

Импликация и следствие[править | править вики-текст]

Не следует путать импликацию (→) и логическое следование (⇒). Импликация, как логическое выражение может сама принимать значения истины или лжи. Логическое же следование A ⇒ B, утверждает, что во всех случаях, когда формула А — истина, B — тоже будет истина.

Синонимические импликации выражения в русском языке[править | править вики-текст]

  1. Когда А, то B
  2. В в том случае, если А
  3. При А В
  4. Из А следует В
  5. В случае А произойдет В
  6. В, так как А
  7. В потому, что А
  8. А достаточное условие для В.

Многозначная логика[править | править вики-текст]

Теория множеств[править | править вики-текст]

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом ⇒, и ей соответствует вложение множеств: пусть A ⊂ B, тогда

                                 a ∈ A ⇒ a ∈ B.

Например, если A — множество всех квадратов, а B — множество прямоугольников, то, конечно, A ⊂ B и

                     (a — квадрат) ⇒ (a — прямоугольник)

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логика[править | править вики-текст]

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации AB формуле \neg A \lor B (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле  \neg (A \land \neg B), которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)).

Интуиционистская логика[править | править вики-текст]

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде A→⊭, где ⊭ — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмов[править | править вики-текст]

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

Программирование[править | править вики-текст]

В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условия B в данном участке программмы:

if ( выражение_для_проверки_A ) {
   //if ( выражение_для_проверки_B ) {
      сделать_что-то_полезное;
   //}
   //else {
   //    сбой;
   //};
}
else {
   сделать_что-то_на_случай_ложности_A;
};

будет успешно выполняться если и только если верна импликация A→B. В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором AND или &&. При стандартных опциях компилятора (Delphi, C++ Builder) проверка идет до тех пор, пока результат не станет очевидным, и если А ложно, то (А и В) ложно вне зависимости от В, и не нужно ставить еще один условный оператор.

В функциональных языках импликация может быть не только правилом вычислений, но и видом отношения между данными, то есть обрабатываться (в том числе и выполняться) и создаваться по ходу выполнения программы.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]