Инвариант Шварца

Инвариантом Шварца, производной Шварца или шварцианом $(Sf)(z)$ (иногда используется обозначение $\{f,\;z\}$) аналитической функции $f(z)$ называется дифференциальный оператор вида

$(Sf)(z)=\frac{f'''(z)}{f'(z)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(z)}{f'(z)}\right)^2.$

Свойства

1. Инвариант Шварца дробно-линейной функции равен нулю. Этот легко проверяемый факт имеет большое принципиальное значение. Действительно, если обычная производная определяет меру близости дифференцируемой функции к линейной, то инвариант Шварца выполняет такую же роль для дробно-линейной функции.
2. Если $f$ — аналитическая функция, а $g$ — дробно-линейное отображение, то будет выполняться соотношение $(Sf)(z)=(Sg(f))(z)$, то есть дробно-линейное отображение не меняет инвариант Шварца.

Уравнение для инварианта Шварца

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в аналитических функциях вида $\frac{d^2f}{dz^2}+ Q(z)f(z)=0$. Тогда его два линейно независимых решения $f_1$ и $f_2$ удовлетворяют соотношению $\left(S\frac{f_1}{f_2}\right)(z)=2Q(z)$.