Инверсия (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Кардиоида — инверсия параболы

Инверсия (от лат. inversio — обращение) относительно окружности есть преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

Определение[править | править исходный текст]

Инверсия

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность \Gamma с центром O (называемым полюсом или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом R. Инверсия точки P относительно \Gamma есть точка P', лежащая на луче OP такая, что

|OP'|\cdot|OP|=R^2.

Инверсия переводит внутреннюю область окружности во внешнюю, и обратно.

Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» \infty и считают её инверсным образом O, а O — инверсным образом \infty. В этом случае, инверсия является биективным преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».

Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы и инверсия в евклидовых пространствах более высоких размерностей.

Свойства[править | править исходный текст]

Образ центра окружности не является центром образа

Инверсия относительно окружности \Gamma с центром O обладает следующими основными свойствами:

  • Инверсия является инволюцией: если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.
  • Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
  • Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
  • Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
  • Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).
  • Окружность или прямая, перпендикулярная к \Gamma, переходит в себя.

Построение[править | править исходный текст]

Построение образа точки при инверсии относительно окружности

Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом[1]:

  • Если расстояние от P до O больше радиуса окружности — провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P'
  • Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности — провести через P перпендикуляр к OP, а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P'
  • Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой

Координатные представления[править | править исходный текст]

Декартовы координаты[править | править исходный текст]

Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением

(x,y)\mapsto \left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right).

Если точку плоскости задать одной комплексной координатой z=x+iy, то это выражение можно представить в виде

z\mapsto (\bar z)^{-1},

где \bar z — комплексно сопряжённое число для z. Данная функция комплексного переменного является антиголоморфной, откуда, в частности, следует конформность инверсии.

В общем случае, инверсия относительно окружности с центром в точке O=(x_0,y_0) и радиусом r задаётся соотношением

(x,y)\mapsto \left(x_0+\frac{r^2(x-x_0)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2},y_0+\frac{r^2(y-y_0)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\right).

Полярные координаты[править | править исходный текст]

Инверсия относительно окружности радиуса r с центром в начале координат задаётся соотношением

(\phi,\rho)\mapsto (\phi,r^2/\rho).

Применение[править | править исходный текст]

С помощью инверсии можно решить известную задачу Аполлония, математически описать принцип действия механизма Липкина — Посселье.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 41—42. — 288 с.

Ссылки[править | править исходный текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «инверсия»