Инверсия (геометрия)

Инверсия (от лат. inversio — обращение) относительно окружности есть преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

Определение

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность Γ с центром O (называемым полюсом или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом R. Инверсия точки P относительно Γ есть точка P', лежащая на луче OP такая, что

$|OP'|\cdot|OP|=R^2.$

Инверсия переводит внутреннюю область окружности во внешнюю, и обратно.

Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» $\infty$ и считают её инверсным образом O, а O — инверсным образом $\infty$. В этом случае, инверсия является биективным преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».

Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы и инверсия в евклидовых пространствах более высоких размерностей.

Свойства

Инверсия относительно окружности Γ с центром O обладает следующими основными свойствами:

• Инверсия является инволюцией: если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.
• Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
• Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
• Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
• Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).
• Окружность или прямая, перпендикулярная к Γ, переходит в себя.

Координатные представления

Декартовы координаты

Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением

$(x,y)\mapsto \left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)$.

Если точку плоскости задать одной комплексной координатой z = x + iy, то это выражение можно представить в виде

$z\mapsto (\bar z)^{-1}$,

где $\bar z$ — комплексно сопряжённое число для z. Данная функция комплексного переменного является голоморфной, откуда, в частности, следует конформность инверсии.

В общем случае, инверсия относительно окружности с центром в точке O = (x₀,y₀) и радиусом r задаётся соотношением

$(x,y)\mapsto \left(x_0+\frac{r^2(x-x_0)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2},y_0+\frac{r^2(y-y_0)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\right)$.

Полярные координаты

Инверсия относительно окружности радиуса r с центром в начале координат задаётся соотношением

$(\phi,\rho)\mapsto (\phi,r^2/\rho)$.

Ссылки

• Ануфриенко С. А. Симметрия относительно окружности.
• Бакельман И. Я. Инверсия. Популярные лекции по математике, Вып. 44, М., Наука, 1966.
• Жижилкин И. Д. Инверсия. М.: МЦНМО, 2009.
• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. Гл. III, § 4.