Инверсная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Инверсная группа — построение в теории групп, сменяющее аргументы бинарной групповой операции местами, используемое для определения правого действия.

Определение[править | править вики-текст]

Для данной группы G=(G, \cdot) строят ей инверсную группу G^{op}=(G, {*}) с тем же множеством элементов, но с произведением {*}, определённым по правилу

g * h := h \cdot g.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Инверсная группа абелевой группы совпадает с ней самой.
  • Инверсная группа любой группы изоморфна ей, изоморфизмом будет, например, g \mapsto g^{-1}.
    • Более того, любой антиавтоморфизм \psi: G \to G порождает соответствующий изоморфизм \varphi: G \to G^{op}:
      \varphi(a \cdot b) = \psi(a \cdot b) = \psi(b) \cdot \psi(a) = \psi(a) * \psi(b) = \varphi(a) * \varphi(b)
  • Пусть задано правое действие группы G на объекте некоторой категории: \rho: G \to \mathrm{Aut}(X). Тогда \rho^{op}: G^{op} \to \mathrm{Aut}(X), определённое как \rho^{op}(g) = \rho(g) (или g^{op}x = xg), является левым действием.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.