Инверсная группа

Инверсная группа — построение в теории групп, сменяющее аргументы бинарной групповой операции местами, используемое для определения правого действия.

Определение

Для данной группы $G=(G, \cdot)$ строят ей инверсную группу $G^{op}=(G, {*})$ с тем же множеством элементов, но с произведением ${*}$, определённым по правилу

$g * h := h \cdot g$.

Свойства

• Инверсная группа абелевой группы совпадает с ней самой.
• Инверсная группа любой группы изоморфна ей, изоморфизмом будет, например, $g \mapsto g^{-1}$.
  • Более того, любой антиавтоморфизм $\psi: G \to G$ порождает соответствующий изоморфизм $\varphi: G \to G^{op}$:

    $\varphi(a \cdot b) = \psi(a \cdot b) = \psi(b) \cdot \psi(a) = \psi(a) * \psi(b) = \varphi(a) * \varphi(b)$

• Пусть задано правое действие группы $G$ на объекте некоторой категории: $\rho: G \to \mathrm{Aut}(X)$. Тогда $\rho^{op}: G^{op} \to \mathrm{Aut}(X)$, определённое как $\rho^{op}(g) = \rho(g)$ (или $g^{op}x = xg$), является левым действием.

Вариации и обобщения

• При категорном определении группы инверсная группа становится частным случаем двойственной категории.

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7