Инволютивная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, инволютивная матрица — это матрица, обратная самой себе. То есть, матрица A является инволютивной матрицей тогда и только тогда, когда A2 = I.

Свойства[править | править исходный текст]

Примеры[править | править исходный текст]

  • Один из трёх классов элементарных матриц является инволютивным, а именно: матрицы меняющие строку местами. Другой класс элементарных преобразований, умножающий строку на число, также содержит инволютивные матрицы, умножающие строку на −1; на самом деле это простейший пример матриц знака, которые все являются инволютивными.
  • Матрица отражения является примером инволютивной матрицы.
  • Явные примеры инволютивных матриц:

\begin{array}{cc}
\mathbf{I}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
; & 
\mathbf{I}^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\\
\\
\mathbf{R}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
; &
\mathbf{R}^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\\
\\
\mathbf{S}=\begin{pmatrix}
+1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
; &
\mathbf{S}^{-1}=\begin{pmatrix}
+1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\\
\end{array}

где

Iединичная матрица;
R — матрица, меняющая две строки местами;
Sматрица знака.
  • Все 2 × 2-матрицы вида
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a & b \\ \frac{(1-a^2)}{b} & -a \end{pmatrix};\quad \mathbf{A}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix} a & \frac{(1-a^2)}{b} \\ b & -a \end{pmatrix}

инволютивны.

Например, для матрицы M, у которой a = 1, b = 1, имеем:

\mathbf{M}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix};\quad\Longrightarrow\quad
\mathbf{M}^2=\begin{pmatrix}
1\times 1+1\times 0 & 1\times 1+1\times -1 \\ 0\times 1-1\times 0 & 0\times 1-1\times -1 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{I}

См. также[править | править исходный текст]